Seja A domínio de integridade ordenado. Mostre que:
a^2 b^2 >= 2 a b

Passo 1

Vamos reprendre o enunciado: “Seja A um domínio de integridade ordenado. Mostre que
a^2b^2;>=;2,a,b
Para que esta desigualdade fizesse sentido em geral teríamos de supor alguma hipótese extra sobre a e b (por exemplo que a,b>=1 ou algo parecido). Sem isso, em um domínio ordenado qualquer (como Z) não é verdade que a^2b^2>=2ab.

Passo 2

Verifiquemos um contra-exemplo simples em Z, que é um domínio de integridade ordenado: tome a=b=1.
Então
a^2b^2=1^2cdot1^2=1 e 2,a,b=2cdot1cdot1=2,
logo
1not>=2,
portanto a desigualdade falha.

Passo 3

Concluímos que, sem hipótese adicional sobre a e b, não há como demonstrar
;a^2b^2>=2ab, pois ela é falsa em domínios de integridade ordenados comuns.

Resposta

Não é possível provar a desigualdade pois falta hipótese suplementar e ela é, de fato, errada em geral (por exemplo em Z com a=b=1).

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