Seja
domínio de integridade ordenado. Mostre que:
Passo 1
Vamos reprendre o enunciado: “Seja
um domínio de integridade ordenado. Mostre que
Para que esta desigualdade fizesse sentido em geral teríamos de supor alguma hipótese extra sobre
e
(por exemplo que
ou algo parecido). Sem isso, em um domínio ordenado qualquer (como
) não é verdade que
.
Passo 2
Verifiquemos um contra-exemplo simples em
, que é um domínio de integridade ordenado: tome
.
Então
Então
logo
portanto a desigualdade falha.
Passo 3
Concluímos que, sem hipótese adicional sobre
e
, não há como demonstrar
, pois ela é falsa em domínios de integridade ordenados comuns.
Resposta
Não é possível provar a desigualdade pois falta hipótese suplementar e ela é, de fato, errada em geral (por exemplo em
com
).