Dizemos que um par de funções u(x, y) e v(x, y) satisfaz as chamadas Equações de CauchyRiemann se as mesmas satisfazem:
partial upartial x(x, y)=partial vpartial y e partial upartial y(x, y)=-partial vpartial x
Verifique se os seguintes pares de funções satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann:
u(x, y)=x^3+x^2-3 x y^2-y^2
e v(x, y)=3 x^2 y+2 x y-y^3;

Passo 1

A questão pede para verificar se o par de funções u(x,y)=x³+x²−3xy²−y² e v(x,y)=3x²y+2xy−y³ satisfaz as Equações de Cauchy–Riemann. Vamos precisar usar derivadas parciais e a definição dessas equações, que exigem que
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\quade\quad
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais aplicando a regra da potência e tratando x ou y como constantes quando for o caso:
partial upartial x=3x^2+2x-3y^2,
partial upartial y=-6xy-2y,
partial vpartial x=6xy+2y,
partial vpartial y=3x^2+2x-3y^2

Passo 3

Agora basta comparar com as equações de Cauchy–Riemann:
  • Temos partial u/partial x=3x^2+2x-3y^2=partial v/partial y.
  • E partial u/partial y=-6xy-2y=-(6xy+2y)=-partial v/partial x.
    Como ambas as igualdades são verdadeiras, o par (u,v) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann.

Resposta

Sim, o par de funções satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo R^2.

Exercícios relacionados