Dizemos que um par de funções
e
satisfaz as chamadas Equações de CauchyRiemann se as mesmas satisfazem:
Verifique se os seguintes pares de funções satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann:
e
;
e
Passo 1
A questão pede para verificar se o par de funções u(x,y)=x³+x²−3xy²−y² e v(x,y)=3x²y+2xy−y³ satisfaz as Equações de Cauchy–Riemann. Vamos precisar usar derivadas parciais e a definição dessas equações, que exigem que
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\quade\quad
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais aplicando a regra da potência e tratando x ou y como constantes quando for o caso:
Passo 3
Agora basta comparar com as equações de Cauchy–Riemann:
- Temos
. - E
.
Como ambas as igualdades são verdadeiras, o par (u,v) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann.
Resposta
Sim, o par de funções satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo
.