Para qual ângulo a
tensão de cisalhamento na junta colada será numericamente igual a duas vezes a tensão normal na junta?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá assim: a gente tem uma junta colada que está sendo carregada em tração pura (ou seja, σ aplicada numa direção) e queremos saber em que posição (ângulo α da superfície da junta em relação à direção da tração) a tensão de cisalhamento que age nessa superfície fica numericamente igual ao dobro da tensão normal nessa mesma superfície.
Conteúdo: Transformação de tensões (Mohr). Vamos precisar das fórmulas de tensão normal σₙ e tensão de cisalhamento τₙ numa superfície inclinada de um estado de tensão uniaxial (σₓ = σ, σᵧ = 0, τₓᵧ = 0).
Conteúdo: Transformação de tensões (Mohr). Vamos precisar das fórmulas de tensão normal σₙ e tensão de cisalhamento τₙ numa superfície inclinada de um estado de tensão uniaxial (σₓ = σ, σᵧ = 0, τₓᵧ = 0).
Passo 2
Teoria rapidinha: quando você tem uma carga de tração σ aplicada no eixo x e quer saber os componentes de tensão numa superfície inclinada de ângulo α em relação ao eixo x, valem:
σₙ = σ·cos²α
τₙ = σ·sinα·cosα
Essas fórmulas vêm da transformação de tensões, que em geral seria:
σₙ = (σₓ+σᵧ)/2 + (σₓ–σᵧ)/2·cos2α + τₓᵧ·sin2α
τₙ = –(σₓ–σᵧ)/2·sin2α + τₓᵧ·cos2α
Mas como σᵧ = τₓᵧ = 0 e σₓ = σ, entra tudo e sobra o que escrevemos acima.
σₙ = σ·cos²α
τₙ = σ·sinα·cosα
Essas fórmulas vêm da transformação de tensões, que em geral seria:
σₙ = (σₓ+σᵧ)/2 + (σₓ–σᵧ)/2·cos2α + τₓᵧ·sin2α
τₙ = –(σₓ–σᵧ)/2·sin2α + τₓᵧ·cos2α
Mas como σᵧ = τₓᵧ = 0 e σₓ = σ, entra tudo e sobra o que escrevemos acima.
Passo 3
O enunciado pede que a tensão de cisalhamento na junta seja duas vezes a tensão normal:
Substituindo as fórmulas:
Podemos dividir ambos os lados por σ·cosα (desde que cosα ≠ 0, o que faz sentido porque se cosα = 0 não há normal):
Isto é:
Passo 4
Basta achar α:
Em graus:
Resposta
O ângulo α que torna a tensão de cisalhamento numericamente igual a duas vezes a tensão normal na junta é aproximadamente 63,4°.