Para qual ângulo a alpha tensão de cisalhamento na junta colada será numericamente igual a duas vezes a tensão normal na junta?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá assim: a gente tem uma junta colada que está sendo carregada em tração pura (ou seja, σ aplicada numa direção) e queremos saber em que posição (ângulo α da superfície da junta em relação à direção da tração) a tensão de cisalhamento que age nessa superfície fica numericamente igual ao dobro da tensão normal nessa mesma superfície.
Conteúdo: Transformação de tensões (Mohr). Vamos precisar das fórmulas de tensão normal σₙ e tensão de cisalhamento τₙ numa superfície inclinada de um estado de tensão uniaxial (σₓ = σ, σᵧ = 0, τₓᵧ = 0).

Passo 2

Teoria rapidinha: quando você tem uma carga de tração σ aplicada no eixo x e quer saber os componentes de tensão numa superfície inclinada de ângulo α em relação ao eixo x, valem:
σₙ = σ·cos²α
τₙ = σ·sinα·cosα
Essas fórmulas vêm da transformação de tensões, que em geral seria:
σₙ = (σₓ+σᵧ)/2 + (σₓ–σᵧ)/2·cos2α + τₓᵧ·sin2α
τₙ = –(σₓ–σᵧ)/2·sin2α + τₓᵧ·cos2α
Mas como σᵧ = τₓᵧ = 0 e σₓ = σ, entra tudo e sobra o que escrevemos acima.

Passo 3

O enunciado pede que a tensão de cisalhamento na junta seja duas vezes a tensão normal:
taun = 2,sigman
Substituindo as fórmulas:
sigmasinalphacosalpha = 2l(sigmacos^2alphar)
Podemos dividir ambos os lados por σ·cosα (desde que cosα ≠ 0, o que faz sentido porque se cosα = 0 não há normal):
sinalpha = 2cosalpha
Isto é:
tanalpha = 2

Passo 4

Basta achar α:
alpha = arctan(2)
Em graus:
alpha approx 63,43^circ

Resposta

O ângulo α que torna a tensão de cisalhamento numericamente igual a duas vezes a tensão normal na junta é aproximadamente 63,4°.

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