Qual é o ângulo de Bragg \varphi para elétrons difratados por um cristal de níquel se a energia dos elétrons é
75 eV ;

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o ângulo de Bragg \varphi para elétrons difratados por um cristal de níquel se a energia dos elétrons é 75\ \text{eV}?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Energia dos elétrons: E=75\\ \text{eV}.
Informações que não foram explicitadas (são necessárias para um único valor de \varphi):
  • o espaçamento interplanar d do plano cristalográfico que provoca a difração (ou, equivalentemente, quais índices de Miller (hkl) estão sendo usados);
  • a ordem de difração n (normalmente usa-se n=1 a não ser que seja dito o contrário).
Para poder dar uma resposta numérica mostro abaixo o procedimento completo e, por praticidade, faço a suposição usual: n=1 (primeira ordem) e uso o parâmetro de rede cúbica de níquel a=0{,}352\\ \text{nm} (valor padrão conhecido para Ni). Vou calcular \varphi para alguns planos comuns (111),(200),(220),(311). Se o seu exercício pede um plano específico, troque o d correspondente ou me diga qual é (mas não vou pedir isso — apenas explicitei a suposição que vou usar).

Passo 2

Primeiro: obter o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons a partir da energia cinética. A relação de de Broglie (não relativística) é
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2 m_e E}},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda do elétron (em metros),
  • h é a constante de Planck ( h=6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}),
  • p é o momento linear do elétron,
  • m_e é a massa do elétron ( m_e=9{,}109\times10^{-31}\\ \text{kg}),
  • E é a energia cinética em joules. (Para converter de \text{eV} para joules usa-se 1\\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J}.)
Verificação da aproximação: como 75\\ \text{eV}\ll 511\\ \text{keV} (energia de repouso do elétron), a fórmula não relativística é adequada.
Passos numéricos:
E = 75\\ \text{eV}=75\cdot1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J}=1{,}2015\times10^{-17}\\ \text{J}.
\sqrt{2 m_e E}=\sqrt{2\cdot(9{,}109\times10^{-31})\cdot(1{,}2015\times10^{-17})} =\;4{,}678\times10^{-24}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
\lambda=\frac{6{,}626\times10^{-34}}{4{,}678\times10^{-24}}=1{,}417\times10^{-10}\\ \text{m}=0{,}1417\\ \text{nm}.
Comentário prático: uma fórmula prática equivalente é
\lambda(\text{\AA})=\frac{12{,}27}{\sqrt{E(\text{eV})}},
que dá \lambda=12{,}27/\sqrt{75}=1{,}417\\ \text{\AA}=0{,}1417\\ \text{nm}, mesmo resultado.

Passo 3

Agora a lei de Bragg para difração em planos cristalinos:
n\lambda = 2 d \sin\varphi,
onde:
  • n é a ordem de difração (inteiro positivo; aqui vamos usar n=1),
  • \lambda é o comprimento de onda dos elétrons (calculado acima),
  • d é o espaçamento entre planos cristalinos (dependente dos índices (hkl)),
  • \varphi é o ângulo de Bragg procurado (ângulo entre o feixe incidente e os planos cristalinos).
Para uma rede cúbica de níquel (Ni tem estrutura cúbica de faces centradas, fcc) o espaçamento interplanar para o plano (hkl) é
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde a é o parâmetro de rede. Usarei a=0{,}352\\ \text{nm}.
Calculemos d para os planos comuns (mostro as contas):
  • Para (111):
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{0{,}352}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}352}{1{,}732}=0{,}2033\\ \text{nm}.
  • Para (200):
d_{200}=\frac{a}{\sqrt{4}}=\frac{0{,}352}{2}=0{,}1760\\ \text{nm}.
  • Para (220):
d_{220}=\frac{a}{\sqrt{4+4}}=\frac{0{,}352}{\sqrt{8}}=\frac{0{,}352}{2{,}828}=0{,}1245\\ \text{nm}.
  • Para (311):
d_{311}=\frac{a}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{0{,}352}{\sqrt{11}}=\frac{0{,}352}{3{,}317}=0{,}1061\\ \text{nm}.

Passo 4

Resolver a lei de Bragg para \varphi com n=1:
\sin\varphi=\frac{\lambda}{2d}.
Substituir \lambda=0{,}1417\\ \text{nm} e cada d:
  • Plano (111):
\sin\phi_{111}=\frac{0{,}1417}{2\cdot0{,}2033}=\frac{0{,}1417}{0{,}4066}=0{,}3490,
\phi_{111}=\arcsin(0{,}3490)=20{,}4^\circ.
  • Plano (200):
\sin\phi_{200}=\frac{0{,}1417}{2\cdot0{,}1760}=\frac{0{,}1417}{0{,}3520}=0{,}4025,
\phi_{200}=\arcsin(0{,}4025)=23{,}7^\circ.
  • Plano (220):
\sin\phi_{220}=\frac{0{,}1417}{2\cdot0{,}1245}=\frac{0{,}1417}{0{,}2490}=0{,}5692,
\phi_{220}=\arcsin(0{,}5692)=34{,}7^\circ.
  • Plano (311):
\sin\phi_{311}=\frac{0{,}1417}{2\cdot0{,}1061}=\frac{0{,}1417}{0{,}2122}=0{,}6678,
\phi_{311}=\arcsin(0{,}6678)=42{,}0^\circ.
Observação: se \sin\varphi>1 a reflexão de ordem n para aquele d não é possível; aqui todas as quatro maneiras deram \sin\varphi<1, então são ângulos válidos para n=1.

Passo 5

Interpretação final e conselho prático:
  • Se o exercício do seu professor indicava um plano específico (por exemplo (111)), use o \varphi correspondente.
  • Se o exercício não indicou d nem (hkl), a resposta única não existe — é preciso especificar o plano. Eu calculei os ângulos para os planos mais comuns assumindo n=1 e a=0{,}352\\ \text{nm}.
Força aí! Se quiser, eu repito as contas com outro plano, com ordem n=2 ou usando outro valor de a.

Resposta

\phi_{111}=20{,}4^\circ
\phi_{200}=23{,}7^\circ
\phi_{220}=34{,}7^\circ
\phi_{311}=42{,}0^\circ

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