Calcule a diferença de pressão na superfície de uma gota esférica de água de 200 \mathrm{~nm} \mathrm{a} 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma gota esférica de água com tamanho 200\\ \mathrm{nm} a 30^\circ\mathrm{C} e pede a diferença de pressão na superfície da gota (ou seja, a diferença entre a pressão interna e a pressão externa causada pela curvatura da superfície). Vou interpretar os 200\\ \mathrm{nm} como o diâmetro da gota; portanto o raio é
R = 100\\ \mathrm{nm}.
Informações relevantes listadas:
  • diâmetro da gota: 200\\ \mathrm{nm} (logo R=100\\ \mathrm{nm});
  • temperatura: 30^\circ\mathrm{C} (usaremos o valor da tensão superficial da água a essa temperatura);
  • o que se pede: diferença de pressão na superfície da gota, \Delta P = P_{\text{interna}}-P_{\text{externa}}.

Passo 2

Qual fórmula usar? A diferença de pressão causada pela curvatura de uma superfície líquida é dada pela equação de Laplace. Vou apresentar a forma geral e explicar o significado:
\Delta P = \gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right),
onde:
  • \Delta P é a diferença de pressão através da interface (pressão interna menos pressão externa),
  • \gamma é a tensão superficial (força por unidade de comprimento, em \mathrm{N/m}),
  • R_1 e R_2 são os dois raios principais de curvatura da superfície em cada ponto (em metros).
Explicação didática curta do porquê: a tensão superficial age como uma força ao longo da borda de uma superfície curva; para equilibrar essa força é necessário um salto de pressão através da superfície. Para superfícies mais curvas (raios menores) a força por área necessária é maior, daí a dependência por 1/R. Para uma esfera os dois raios principais são iguais ao raio da esfera.

Passo 3

Para uma gota esférica temos R_1=R_2=R. Assim a fórmula simplifica para
\Delta P = \frac{2\gamma}{R}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \gamma: tensão superficial da água a 30^\circ\mathrm{C} (unidade: \mathrm{N/m});
  • R: raio da gota (unidade: \mathrm{m});
  • \Delta P: diferença de pressão (unidade: \mathrm{Pa}).

Passo 4

Precisamos de \gamma a 30^\circ\mathrm{C}. Um valor aproximado prático é
\gamma(30^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}0712\\ \mathrm{N/m}.
(Em provas costuma-se usar o valor tabelado da tensão superficial da água a 30^\circ\mathrm{C}; estou usando 0{,}0712\\ \mathrm{N/m} como valor padrão aproximado.)
Agora converto o raio para metros:
R = 100\\ \mathrm{nm} = 100\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituo os valores na fórmula \Delta P = \dfrac{2\gamma}{R} e calculo passo a passo:
2\gamma = 2\times0{,}0712\\ \mathrm{N/m} = 0{,}1424\\ \mathrm{N/m}.
Agora divido por R:
\Delta P = \frac{0{,}1424\\ \mathrm{N/m}}{1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}} = 0{,}1424\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}424\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Interpretação e conversão para uma unidade mais familiar: 1\\ \mathrm{atm}\approx1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim
\Delta P \approx \frac{1{,}424\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}}{1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}} \approx 14{,}1\\ \mathrm{atm}.
Comentário rápido e motivador: isso mostra que gotas muito pequenas têm uma pressão interna muito maior que a externa — é por isso que fenômenos em nano‑escala são dominados por tensões superficiais. Você está indo bem — esse tipo de conta é direta se você lembrar da fórmula de Laplace e cuidar das unidades!

Resposta

\Delta P \approx 1{,}42\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} \approx 14{,}1\\ \mathrm{atm}

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