Um laboratório recebeu uma amostra de aço para determinar o conteúdo de crômio e manganês. Um grama da amostra foi dissolvida com uma mistura ácida adequada e o crômio e o manganês foram oxidados a dicromato \left(\mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}{ }^{-2}\right) e permanganato \left(\mathrm{MnO}_{4}{ }^{-}\right), respectivamente. O volume da solução resultante foi ajustado para 100 mL e a sua absorbância lida em 440 e 525 nm em cela de um centímetro dando dando, respectivamente, 0,216 e 0,327 .
Uma curva analítica para cada elemento foi preparada seguindo o procedimento abaixo:
Construção das curvas analíticas de \mathrm{KMnO}_{4} e \mathrm{K}_{2} \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7} (procedimento idêntico para as duas curvas).
1 Lave, rinse e encha uma bureta de 25 mL com a solução padrão;
2 Adicione em balão volumétrico de 100 mL cerca de 50 mL de água destilada;
3 Adicione vagarosa e cuidadosamente, com agitação constante, 4 mL de \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} concentrado ao balão volumétrico;
4 Adicione exatamente 4 mL da solução padrão da bureta ao balão volumétrico;
5 Complete o volume do balão com água destilada e homogeneize a solução;
6 Repita os passos 2 à 5, utilizando os volumes 0 (branco), 6, 10 e 15 mL no passo 4;
As absorbâncias destas soluções foram medidas nos dois comprimentos de onda e os resultados são apresentados na tabela abaixo:
Vol. Sol. De \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}{ }^{-2} \mathrm{~mL} \mathbf{[} \mathbf{K}_{\mathbf{2}} \mathbf{C r}_{\mathbf{2}} \mathbf{O}_{\mathbf{7}} \boldsymbol{]} \mathbf{g ~ L}^{\boldsymbol{-} \mathbf{1}} Abs 440 nm Abs 525 nm
0 0,000 0,000
4 0,12 0,04
6 0,18 0,06
10 0,30 0,10
15 0,45 0,15
Vol. Sol. De \mathrm{MnO}_{4}{ }^{-} \mathrm{mL} \left[\mathrm{KMnO}_{4}\right] \mathrm{g} \mathrm{L}^{-1} Abs 440 nm Abs 525 nm
0 0,000 0,000
4 0,020 0,16
6 0,030 0,24
10 0,050 0,40
15 0,075 0,60
Com esses resultados, calcule as % de crômio e manganês no aço.
DADOS: Massas molares: \mathrm{Cr}=52; \mathrm{Mn}=55 ; \mathrm{K}_{2} \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}=294 ; \mathrm{KMnO}_{4}=158
Concentração da solução padrão de \mathrm{K}_{2} \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}=4,9 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}
Concentração da solução padrão de \mathrm{KMnO}_{4}=0,60 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a porcentagem de crômio e a porcentagem de manganês no aço, a partir das medidas de absorbância da solução da amostra.
Dados fornecidos (peguei os valores de absorbância e a tabela de calibração do enunciado):
  • Massa da amostra: 1{,}000\\ \mathrm{g} (ou seja, 1{,}00\\ \mathrm{g}) dissolvida e o volume final ajustado para 100\\ \mathrm{mL}=0{,}100\\ \mathrm{L}.
  • Absorbâncias da solução da amostra em cela de 1\\ \mathrm{cm}: \text{Abs}_{440}=0{,}216,\qquad \text{Abs}_{525}=0{,}327.
  • Tabela de calibração (peguei os valores de Abs nas duas faixas e os volumes adicionados das soluções-padrão):
    • Para \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7 (solução padrão C_{\text{Cr,std}}=4{,}9\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}):
      volumes adicionados ao balão de 100\\ \mathrm{mL}: 0,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 10,\\\ 15\\ \mathrm{mL} com respectivas absorbâncias em 440\\ \mathrm{nm}: 0{,}000,\\\ 0{,}12,\\\ 0{,}18,\\\ 0{,}30,\\\ 0{,}45 e em 525\\ \mathrm{nm}: 0{,}000,\\\ 0{,}04,\\\ 0{,}06,\\\ 0{,}10,\\\ 0{,}15.
    • Para \mathrm{KMnO}_4 (solução padrão C_{\text{Mn,std}}=0{,}60\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}):
      volumes adicionados ao balão de 100\\ \mathrm{mL}: 0,\\\ 4,\\\ 6,\\\ 10,\\\ 15\\ \mathrm{mL} com respectivas absorbâncias em 440\\ \mathrm{nm}: 0{,}000,\\\ 0{,}020,\\\ 0{,}030,\\\ 0{,}050,\\\ 0{,}075 e em 525\\ \mathrm{nm}: 0{,}000,\\\ 0{,}16,\\\ 0{,}24,\\\ 0{,}40,\\\ 0{,}60.
  • Massas molares fornecidas: M_{\mathrm{Cr}}=52,\quad M_{\mathrm{Mn}}=55,\quad M_{\mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7}=294,\quad M_{\mathrm{KMnO}_4}=158.
  • Concentrações das soluções-padrão (repetindo): C_{\mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7}=4{,}9\\ \mathrm{g\\ L^{-1}} e C_{\mathrm{KMnO}_4}=0{,}60\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Observação importante (que justifica o método): ambas as espécies absorvem nos dois comprimentos de onda (veja a tabela), logo as absorbâncias medidas na amostra são soma das contribuições de cada espécie. Precisamos usar as curvas de calibração em ambos os comprimentos para separar as concentrações de \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7 e de \mathrm{KMnO}_4 por sistema linear.

Passo 2

Converter volumes adicionados nas soluções de calibração em concentrações finais (g L^{-1}) nas soluções de 100\\ \mathrm{mL}.
Raciocínio e fórmula: ao colocar V (mL) de uma solução padrão de concentração C_{\text{std}} (g L^{-1}) no balão de 100\\ \mathrm{mL}=0{,}100\\ \mathrm{L}, a concentração final C (g L^{-1}) é
C = \frac{C_{\text{std}}\times (V/1000)}{0{,}100} = C_{\text{std}}\cdot\frac{V}{100}.
Logo a contribuição por cada mL é C_{\text{std}}/100 (g L^{-1}\ por mL).
Calculemos as concentrações correspondentes (vou mostrar os valores para os volumes usados):
  • Para \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7 com C_{\text{Cr,std}}=4{,}9\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}: C_{\text{Cr}}(V)=4{,}9\cdot\frac{V}{100} = 0{,}049\,V\quad(\mathrm{g\\ L^{-1}},\\ V\\ \text{em mL}).Assim: V=4\\ \mathrm{mL}\Rightarrow C=0{,}049\times 4=0{,}196\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},
V=6\Rightarrow C=0{,}294\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},\quad V=10\Rightarrow C=0{,}490\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},\quad V=15\Rightarrow C=0{,}735\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
  • Para \mathrm{KMnO}_4 com C_{\text{Mn,std}}=0{,}60\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}: C_{\text{Mn}}(V)=0{,}60\cdot\frac{V}{100} = 0{,}006\,V\quad(\mathrm{g\\ L^{-1}}).Assim: V=4\Rightarrow C=0{,}006\times 4=0{,}024\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},
V=6\Rightarrow 0{,}036\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},\quad V=10\Rightarrow 0{,}060\\ \mathrm{g\\ L^{-1}},\quad V=15\Rightarrow 0{,}090\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.

Passo 3

Determinar as constantes (declives) das curvas analíticas: absorbância por concentração ( \mathrm{Abs}/(\mathrm{g\\ L^{-1}})) para cada espécie em cada comprimento de onda. Como o branco tem Abs =0, assumimos relação linear direta passando pela origem:
\text{Abs} = a\cdot C.
Cálculo dos declives usando qualquer ponto da calibração (todos são consistentes); uso a relação por mL e transformo em fração exata quando possível.
  • Para \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7:
    • Em 440\\ \mathrm{nm}: com V=4\\ \mathrm{mL}, \text{Abs}=0{,}12. A absorbância por mL é 0{,}12/4=0{,}03 por mL. Como cada mL corresponde a 0{,}049\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}, temos a_{\text{Cr},440}=\frac{0{,}03}{0{,}049}=\frac{30}{49}\approx 0{,}6122449\\ \frac{\text{Abs}}{\mathrm{g\\ L^{-1}}}.
    • Em 525\\ \mathrm{nm}: com V=4 temos \text{Abs}=0{,}04\Rightarrow absorbância por mL =0{,}01, então a_{\text{Cr},525}=\frac{0{,}01}{0{,}049}=\frac{10}{49}\approx 0{,}2040816\\ \frac{\text{Abs}}{\mathrm{g\\ L^{-1}}}.
  • Para \mathrm{KMnO}_4:
    • Em 440\\ \mathrm{nm}: com V=4 temos \text{Abs}=0{,}020\Rightarrow absorbância por mL =0{,}005. Cada mL corresponde a 0{,}006\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}, então a_{\text{Mn},440}=\frac{0{,}005}{0{,}006}=\frac{5}{6}\approx 0{,}8333333\\ \frac{\text{Abs}}{\mathrm{g\\ L^{-1}}}.
    • Em 525\\ \mathrm{nm}: com V=4 temos \text{Abs}=0{,}16\Rightarrow absorbância por mL =0{,}04, logo a_{\text{Mn},525}=\frac{0{,}04}{0{,}006}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}\approx 6{,}6666667\\ \frac{\text{Abs}}{\mathrm{g\\ L^{-1}}}.
Resumo dos declives que usaremos:
a_{\text{Cr},440}=\frac{30}{49},\quad a_{\text{Cr},525}=\frac{10}{49},\quad a_{\text{Mn},440}=\frac{5}{6},\quad a_{\text{Mn},525}=\frac{20}{3}.

Passo 4

Montar o sistema linear que representa as absorbâncias medidas na amostra como soma das contribuições de cada espécie.
Se x for a concentração de \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7 na solução da amostra (g L^{-1}) e y for a concentração de \mathrm{KMnO}_4 na solução da amostra (g L^{-1}), então:
\text{Abs}_{440} = a_{\text{Cr},440}\,x + a_{\text{Mn},440}\,y,
\text{Abs}_{525} = a_{\text{Cr},525}\,x + a_{\text{Mn},525}\,y.
Substituindo os valores:
\frac{30}{49}x + \frac{5}{6}y = 0{,}216,
\frac{10}{49}x + \frac{20}{3}y = 0{,}327.

Passo 5

Resolver o sistema linear por eliminação (faço passo a passo com as manipulações explicitadas).
  1. Multiplico as duas equações por 49 para eliminar o denominador 49:
30x + \frac{245}{6}y = 49\cdot 0{,}216 = 10{,}584,
10x + \frac{980}{3}y = 49\cdot 0{,}327 = 16{,}023.
  1. Multiplico a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação de x:
30x + 980y = 48{,}069.
  1. Subtraio a primeira equação (a versão com 30x) da equação obtida no passo anterior:
(30x+980y)-(30x+\tfrac{245}{6}y) = 48{,}069 - 10{,}584,
o que dá
980y - \tfrac{245}{6}y = 37{,}485.
Coloco em um único denominador:
\left(980 - \tfrac{245}{6}\right)y = \frac{5635}{6}y = 37{,}485.
Logo
y = \frac{37{,}485\cdot 6}{5635} \approx 0{,}039926\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
  1. Substituo y na primeira equação original em forma simples:
\frac{30}{49}x + \frac{5}{6}(0{,}039926) = 0{,}216.
Calculo \frac{5}{6}\,y \approx 0{,}8333333\times 0{,}039926 \approx 0{,}033272. Então
\frac{30}{49}x = 0{,}216 - 0{,}033272 = 0{,}182728.
Multiplico por \frac{49}{30}:
x = \frac{49}{30}\times 0{,}182728 \approx 0{,}29839\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Verificação rápida (substituindo em segunda equação) dá valor muito próximo de 0{,}327 (diferenças por arredondamento), portanto os resultados são consistentes.
Assim:
x \approx 0{,}29839\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}\quad\text{(concentração de }\mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7\text{ na solução da amostra)},çãçã
y \approx 0{,}039926\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}\quad\text{(concentração de }\mathrm{KMnO}_4\text{ na solução da amostra)}.çãçã

Passo 6

Converter essas concentrações em massa do composto na alíquota de 100\\ \mathrm{mL} (já que a amostra original de 1{,}00\\ \mathrm{g} foi dissolvida e ajustada para 100\\ \mathrm{mL}), e depois em massa do elemento (Cr e Mn) e, finalmente, em percentual.
  1. Massa de cada sal na alíquota de 100\\ \mathrm{mL}:
m_{\mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7} = x \times 0{,}100 = 0{,}29839\times 0{,}100 = 0{,}029839\\ \mathrm{g},
m_{\mathrm{KMnO}_4} = y \times 0{,}100 = 0{,}039926\times 0{,}100 = 0{,}0039926\\ \mathrm{g}.
  1. Fração em massa do elemento no sal:
  • Em \mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7 há 2 átomos de Cr, massa total de Cr por mol =2\times 52 =104. Fração mássica de Cr: f_{\mathrm{Cr}}=\frac{104}{294}\approx 0{,}3537415.Massa de Cr na amostra: m_{\mathrm{Cr}} = m_{\mathrm{K}_2\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7}\times f_{\mathrm{Cr}} = 0{,}029839\times \frac{104}{294}\approx 0{,}010549\\ \mathrm{g}.
  • Em \mathrm{KMnO}_4 há 1 átomo de Mn, fração mássica de Mn: f_{\mathrm{Mn}}=\frac{55}{158}\approx 0{,}3481013.Massa de Mn na amostra: m_{\mathrm{Mn}} = m_{\mathrm{KMnO}_4}\times f_{\mathrm{Mn}} = 0{,}0039926\times \frac{55}{158}\approx 0{,}001389\\ \mathrm{g}.
  1. Converter em porcentagem (a amostra original tem 1{,}00\\ \mathrm{g}):
\%\mathrm{Cr} = \frac{m_{\mathrm{Cr}}}{1{,}00}\times 100\% \approx 1{,}0549\% \approx 1{,}055\%,
\%\mathrm{Mn} = \frac{m_{\mathrm{Mn}}}{1{,}00}\times 100\% \approx 0{,}1389\%.

Passo 7

Arredondamento e comentário final: com as cifras significativas práticas para análise experimental, podemos reportar os resultados com três algarismos significativos:
\%\mathrm{Cr}\approx 1{,}06\%,\qquad \%\mathrm{Mn}\approx 0{,}139\%.
Parabéns — conseguimos separar as contribuições usando duas medidas (dupla janela espectral) e a linearidade das curvas de calibração!

Resposta

\%\mathrm{Cr}=1{,}06\%
\%\mathrm{Mn}=0{,}139\%

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