O ângulo entre dois vetores
e
é
, que é menor que
. Seja
. (a) Encontre a intensidade de
e o ângulo entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo φ menor que 90º. A gente precisa encontrar a intensidade (ou seja, o tamanho) de um terceiro vetor c, que é definido como o produto vetorial de a com o produto vetorial de b e a (ou seja, c = a × (b × a)). Além disso, queremos descobrir o ângulo entre b e c. Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante chamada identidade do produto vetorial triplo. Ela nos ajuda a simplificar expressões como a × (b × a). A identidade é:
Nesse caso, u = a, v = b, e w = a. Vamos aplicar essa identidade para simplificar c.
Passo 3
Aplicando a identidade:
Agora, vamos calcular os produtos escalares:
Substituindo na expressão de c:
Passo 4
Queremos encontrar a intensidade de c, ou seja,
. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Mas antes, vamos simplificar c:
Para facilitar, vamos chamar $ |\vec{a}| = a $ e $ |\vec{b}| = b $. Então:
Agora, vamos calcular
:
Expandindo o produto:
Sabemos que:
Substituindo:
Então,
E como
,
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo entre b e c. Para isso, usamos a definição de produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Onde
é o ângulo entre b e c. Vamos calcular
:
Então,
Substituindo os produtos escalares:
Fatorando:
Agora, usamos a definição do ângulo:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
Resposta
A intensidade de
é
e o ângulo entre
e
é
.