O ângulo entre dois vetores a e b é phi, que é menor que 90^circ. Seja c=a times(b times a). (a) Encontre a intensidade de c e o ângulo entre b e c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo φ menor que 90º. A gente precisa encontrar a intensidade (ou seja, o tamanho) de um terceiro vetor c, que é definido como o produto vetorial de a com o produto vetorial de b e a (ou seja, c = a × (b × a)). Além disso, queremos descobrir o ângulo entre b e c. Para isso, vamos usar propriedades de produtos vetoriais e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante chamada identidade do produto vetorial triplo. Ela nos ajuda a simplificar expressões como a × (b × a). A identidade é:
u times (v times w) = v (u cdot w) - w (u cdot v)
Nesse caso, u = a, v = b, e w = a. Vamos aplicar essa identidade para simplificar c.

Passo 3

Aplicando a identidade:
c = a times (b times a) = b (a cdot a) - a (a cdot b)
Agora, vamos calcular os produtos escalares:
  • a cdot a = |a|^2
  • a cdot b = |a| |b| cosphi
Substituindo na expressão de c:
c = b |a|^2 - a |a| |b| cosphi

Passo 4

Queremos encontrar a intensidade de c, ou seja, |c|. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|c| = raiz(c cdot c)
Mas antes, vamos simplificar c:
c = |a|^2 b - |a| |b| cosphi a
Para facilitar, vamos chamar $ |\vec{a}| = a $ e $ |\vec{b}| = b $. Então:
|a| = a
Agora, vamos calcular |b| = b :
c = a^2 b - a b cosphi a
Expandindo o produto:
c cdot c
Sabemos que:
c cdot c = (a^2 b - a b cosphi a) cdot (a^2 b - a b cosphi a)
Substituindo:
= a^4 (b cdot b) - 2 a^3 b cosphi (b cdot a) + a^2 b^2 cos^2phi (a cdot a)
Então,
a cdot a = a^2 b cdot b = b^2 a cdot b = a b cosphi
E como = a^4 b^2 - 2 a^3 b cosphi (a b cosphi) + a^2 b^2 cos^2phi a^2 = a^4 b^2 - 2 a^4 b^2 cos^2phi + a^4 b^2 cos^2phi = a^4 b^2 (1 - 2 cos^2phi + cos^2phi) = a^4 b^2 (1 - cos^2phi) ,
|c| = raiza^4 b^2 (1 - cos^2phi) = a^2 b raiz1 - cos^2phi

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo entre b e c. Para isso, usamos a definição de produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
b cdot c = |b| |c| costheta
Onde theta é o ângulo entre b e c. Vamos calcular b cdot c:
c = a^2 b - a b cosphi a
Então,
b cdot c = b cdot (a^2 b - a b cosphi a) = a^2 (b cdot b) - a b cosphi (b cdot a)
Substituindo os produtos escalares:
= a^2 b^2 - a b cosphi (a b cosphi) = a^2 b^2 - a^2 b^2 cos^2phi
Fatorando:
= a^2 b^2 (1 - cos^2phi) = a^2 b^2 sin^2phi
Agora, usamos a definição do ângulo:
a^2 b^2 sin^2phi = b cdot |c| costheta
Sabemos que |c| = a^2 b sinphi, então:
a^2 b^2 sin^2phi = b cdot a^2 b sinphi costheta a^2 b^2 sin^2phi = a^2 b^2 sinphi costheta
Dividindo ambos os lados por a^2 b^2 sinphi:
sinphi = costheta
Então,
theta = 90^circ - phi

Resposta

A intensidade de c é a^2 b sinphi e o ângulo entre b e c é 90^circ - phi.

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