O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a alpha rad/h. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura H, no instante que a sombra medir 40% da aultura do prédio é
ii. 2425 H alpha

Passo 1

O enunciado pede para determinar a rapidez com que a sombra de um prédio de altura H cresce, sabendo que o ângulo de elevação do sol theta está diminuindo à taxa alpha rad/h. Vamos usar derivadas relacionadas e trigonometria para resolver.

Passo 2

Modelamos o triângulo retângulo formado pelo prédio, a sombra de comprimento x e os raios solares: a definição de tangente dá tantheta = Hx. Dessa relação isolamos x:
x = Hcottheta

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo, usando regra da cadeia e sabendo que ddtheta(cottheta) = -csc^2theta:
dxdt = Hcdot(-csc^2theta)cdotdthetadt

Passo 4

Substituímos dthetadt = -alpha (ângulo diminuindo):
dxdt = -Hcsc^2theta,(-alpha) = Halphacsc^2theta

Passo 5

No instante em que x = 0,4H, temos cottheta = xH = 0,4. Logo
csc^2theta = 1 + cot^2theta = 1 + (0,4)^2 = 2925

Passo 6

Finalmente, substituindo em dxdt:
dxdt = Halphacdot2925 = 2925Halpha

Resposta

tfrac2925Halpha

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