Marque V ou F .
Se
for uma assintota horizontal então ou
ou
mas não ambos.
O grático de uma funçāo pode interceptar uma assintota horizontal.
O grático de uma funçāo pode interceptar uma assintota vertical.
O grático de uma funçāo pode apresentar no máximo duas assintotas horizontais.
Se
e
forem duas assintotas horizontais no grático de uma função, entāo todos os valores de
estāo entre -1 e 1 .
Se
O grático de uma funçāo pode interceptar uma assintota horizontal.
O grático de uma funçāo pode interceptar uma assintota vertical.
O grático de uma funçāo pode apresentar no máximo duas assintotas horizontais.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para marcarmos cada afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F). O tema aqui é assíntotas horizontais e verticais de funções, além dos limites das funções quando o $ x $ tende ao infinito ou menos infinito. Para resolver isso, vamos lembrar das definições de assíntotas e como os limites se comportam nessas situações.
Passo 2
Afirmação 1: Se $ y = L $ for uma assíntota horizontal então ou $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $ ou $ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $ mas não ambos.
Vamos entender o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal $ y = L $ significa que, conforme $ x $ vai para mais ou menos infinito, o valor de $ f(x) $ se aproxima de $ L $.
Agora, a afirmação diz que isso acontece em apenas uma direção (ou $ -\infty $ ou $ +\infty $), mas não nas duas. No entanto, uma função pode ter a mesma assíntota horizontal nas duas direções!
Exemplo: A função $ f(x) = \frac{2x + 3}{x} $ tem $ y = 2 $ como assíntota horizontal tanto para $ x \to \infty $ quanto para $ x \to -\infty $.
Portanto, a afirmação é Falsa.
Passo 3
Afirmação 2: O gráfico de uma função pode interceptar uma assíntota horizontal.
Uma assíntota horizontal é uma linha que a função se aproxima, mas isso não impede que a função cruze essa linha em algum ponto.
Exemplo: A função $ f(x) = \frac{x}{x} = 1 $ para todo $ x \neq 0 $. Aqui, $ y = 1 $ é uma assíntota horizontal e, na verdade, a função está constantemente nessa linha.
Mesmo em funções onde a assíntota não é a linha que a função segue sempre, é possível que em certos pontos $ f(x) = L $.
Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: O gráfico de uma função pode interceptar uma assíntota vertical.
Uma assíntota vertical ocorre onde a função tende a $ \infty $ ou $ -\infty $, geralmente em pontos de descontinuidade. Por definição, a função não está definida nesse ponto, então não pode “cruzar” a assíntota vertical.
Exemplo: A função $ f(x) = \frac{1}{x - 2} $ tem uma assíntota vertical em $ x = 2 $. A função não está definida em $ x = 2 $, então não pode interceptar essa linha.
Portanto, a afirmação é Falsa.
Passo 5
Afirmação 4: O gráfico de uma função pode apresentar no máximo duas assíntotas horizontais.
Na verdade, uma função pode ter no máximo duas assíntotas horizontais, uma para $ x \to \infty $ e outra para $ x \to -\infty $.
Exemplo: A função $ f(x) = \frac{3x}{x} = 3 $ tem uma única assíntota horizontal $ y = 3 $, mas considere $ f(x) = \frac{x^2}{x} = x $, que não tem assíntotas horizontais.
Entretanto, se houver duas assíntotas horizontais diferentes para cada direção, isso ainda respeita o “máximo de duas”.
Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Passo 6
Afirmação 5: Se $ y = -1 $ e $ y = 1 $ forem duas assíntotas horizontais no gráfico de uma função, então todos os valores de $ y = f(x) $ estão entre -1 e 1.
Ter duas assíntotas horizontais significa que, para $ x \to \infty $, $ f(x) \to 1 $ e para $ x \to -\infty $, $ f(x) \to -1 $, por exemplo. No entanto, isso não limita os valores de $ f(x) $ apenas entre -1 e 1. A função pode ultrapassar esses valores em outros pontos.
Exemplo: A função $ f(x) = \frac{x}{x} $ tem $ y = 1 $ como assíntota horizontal, mas pode assumir valores maiores ou menores dependendo da função específica.
Portanto, a afirmação é Falsa.
Resposta
- F
- V
- F
- V
- F