Considere a função
definida por
), onde
é uma função diferenciável que satisfaz a:
e
. Sabe-se também que os pontos
e
pertencem ao gráfico da derivada
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = h(h(-x) + 2x) $ no ponto onde $ x = 1 $. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar dos valores de $ h $ e de sua derivada $ h’ $ em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(1) $, que é o valor da função no ponto onde queremos a reta tangente. Vamos calcular:
Sabemos que $ h(-1) = 1 $, então:
E também nos foi dado que $ h(3) = 4 $. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função $ f(x) $ para encontrar $ f’(x) $. Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Aplicando isso:
Aqui, derivamos o interior $ h(-x) + 2x $, que resulta em $ h’(-x) \times (-1) + 2 $.
Passo 4
Vamos agora calcular $ f’(1) $. Substituímos $ x = 1 $ na derivada que encontramos:
Primeiro, calculamos $ h(-1) + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 $.
Então:
Sabemos que $ h’(3) = 2 $ e $ h’(-1) = 3 $ (dos pontos dados). Substituindo:
Passo 5
Com $ f(1) = 4 $ e $ f’(1) = -2 $, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto de abscissa $ x = 1 $ é: