Considere a função f: R R definida por f(x)=h(h(-x)+2 x) ), onde h: R R é uma função diferenciável que satisfaz a: h(-1)=1, h(1)=-2 e h(3)=4. Sabe-se também que os pontos (-1,3),(1,-1) e (3,2) pertencem ao gráfico da derivada h^prime.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = h(h(-x) + 2x) $ no ponto onde $ x = 1 $. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar dos valores de $ h $ e de sua derivada $ h’ $ em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(1) $, que é o valor da função no ponto onde queremos a reta tangente. Vamos calcular:
f(1)
Sabemos que $ h(-1) = 1 $, então:
f(1) = h(h(-1) + 2 times 1)
E também nos foi dado que $ h(3) = 4 $. Portanto:
h(-1) = 1

Passo 3

Agora, vamos derivar a função $ f(x) $ para encontrar $ f’(x) $. Usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Aplicando isso:
f(x)
Aqui, derivamos o interior $ h(-x) + 2x $, que resulta em $ h’(-x) \times (-1) + 2 $.

Passo 4

Vamos agora calcular $ f’(1) $. Substituímos $ x = 1 $ na derivada que encontramos:
Primeiro, calculamos $ h(-1) + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 $.
Então:
f'(1)
Sabemos que $ h’(3) = 2 $ e $ h’(-1) = 3 $ (dos pontos dados). Substituindo:
x = 1

Passo 5

Com $ f(1) = 4 $ e $ f’(1) = -2 $, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
f(1) = 4
Substituindo os valores:
f'(1) = -2

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto de abscissa $ x = 1 $ é:
f

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