Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-01 e BR-02, tendo seus movimentos descritos por
sigma1(t)=(10 t, 50 t^2) e sigma2(t)=(7 t, 70 t-50), t >= 0
Os dois carros chegam juntos ao ponto P ? Se não, qual deles chega primeiro?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! Temos dois carros, o R₁ e o R₂, que estão se movendo nas estradas BR-01 e BR-02, respectivamente. As posições deles em função do tempo são dadas pelas funções vetoriais:
sigma1(t)=(10 t, 50 t^2) e sigma2(t)=(7 t, 70 t-50)
O objetivo é descobrir se esses dois carros chegam juntos ao ponto P ou, se não, qual chega primeiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções paramétricas de posição e resolver equações para encontrar os tempos de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente das funções sigma1(t) e sigma2(t) representa. Em cada função, o primeiro termo dentro dos parênteses é a posição no eixo x e o segundo a posição no eixo y no instante t.
Para o carro R₁:
sigma1(t) = (10t, 50t^2)
  • x: 10t
  • y: 50t^2
Para o carro R₂:
sigma2(t) = (7t, 70t - 50)
  • x: 7t
  • y: 70t - 50

Passo 3

Queremos saber quando cada carro chega ao ponto P. Vamos supor que as coordenadas de P são (xp, yp). Então, para cada carro:
Para R₁:
10t = xp e 50t^2 = yp
Podemos isolar t na primeira equação:
t = xp10
Para R₂:
7t = xp e 70t - 50 = yp
Isolando t na primeira equação:
t = xp7

Passo 4

Como ambos os carros chegam ao mesmo ponto P, as coordenadas xp e yp devem ser iguais para os dois carros no mesmo instante de tempo. Vamos igualar as expressões para xp:
10t = 7t
Resolvendo:
10t = 7t 10t - 7t = 0 3t = 0 t = 0
Isso sugere que apenas no instante inicial t = 0 os carros estão juntos, o que não é útil para o problema, já que estamos interessados em t >= 0.

Passo 5

Como o tempo t = 0 não nos dá informações úteis, vamos procurar outro método. Vamos igualar as expressões de yp dos dois carros.
Sabemos que:
xp^22 = 10xp - 50
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
xp^2 = 20xp - 100 xp^2 - 20xp + 100 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
xp^2 - 20xp + 100 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
De
Como De, temos uma solução real dupla:
xp = 202 = 10

Passo 7

Com xp = 10, vamos encontrar o tempo de chegada para cada carro.
Para R₁:
t = xp10 = 1010 = 1 segundo
Para R₂:
t = xp7 = 107 approx 1,428 segundos

Passo 8

Comparando os tempos:
  • R₁ chega ao ponto P em 1 segundo.
  • R₂ chega ao ponto P em aproximadamente 1,428 segundos.

Resposta

Não, os dois carros não chegam juntos ao ponto P. O carro R₁ chega primeiro ao ponto P em 1 segundo, enquanto o carro R₂ chega após aproximadamente 1,428 segundos.

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