Dois carros
e
percorrem, respectivamente, as estradas
e
, tendo seus movimentos descritos por
Os dois carros chegam juntos ao ponto
? Se não, qual deles chega primeiro?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! Temos dois carros, o R₁ e o R₂, que estão se movendo nas estradas BR-01 e BR-02, respectivamente. As posições deles em função do tempo são dadas pelas funções vetoriais:
O objetivo é descobrir se esses dois carros chegam juntos ao ponto P ou, se não, qual chega primeiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções paramétricas de posição e resolver equações para encontrar os tempos de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente das funções
e
representa. Em cada função, o primeiro termo dentro dos parênteses é a posição no eixo
e o segundo a posição no eixo
no instante
.
Para o carro R₁:
-
: -
:
Para o carro R₂:
-
: -
:
Passo 3
Queremos saber quando cada carro chega ao ponto P. Vamos supor que as coordenadas de P são
. Então, para cada carro:
Para R₁:
Podemos isolar
na primeira equação:
Para R₂:
Isolando
na primeira equação:
Passo 4
Como ambos os carros chegam ao mesmo ponto
, as coordenadas
e
devem ser iguais para os dois carros no mesmo instante de tempo. Vamos igualar as expressões para
:
Resolvendo:
Isso sugere que apenas no instante inicial
os carros estão juntos, o que não é útil para o problema, já que estamos interessados em
.
Passo 5
Como o tempo
não nos dá informações úteis, vamos procurar outro método. Vamos igualar as expressões de
dos dois carros.
Sabemos que:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, temos uma solução real dupla:
Passo 7
Com
, vamos encontrar o tempo de chegada para cada carro.
Para R₁:
Para R₂:
Passo 8
Comparando os tempos:
- R₁ chega ao ponto P em 1 segundo.
- R₂ chega ao ponto P em aproximadamente 1,428 segundos.
Resposta
Não, os dois carros não chegam juntos ao ponto
. O carro R₁ chega primeiro ao ponto
em 1 segundo, enquanto o carro R₂ chega após aproximadamente 1,428 segundos.