O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a alpha rad/h. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura H, no instante que a sombra medir 60% da aultura do prédio é:
i. 1825 H alpha
ii. 2725 H alpha
iii. 2425 H alpha
iv. 65 H alpha
v. 3425 H alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o ângulo de elevação do sol que está diminuindo a uma certa taxa, representada por alpha rad/h. A gente precisa descobrir quão rápido a sombra de um prédio está aumentando quando essa sombra está com 60% da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e derivadas relacionadas ao movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o comprimento da sombra ( L) com o ângulo de elevação do sol ( theta). Quando o sol está formando um ângulo theta com o horizonte, a sombra do prédio de altura H pode ser descrita pela relação trigonométrica:
tan(theta) = HL
Aqui, tan(theta) é igual à altura do prédio dividida pelo comprimento da sombra.

Passo 3

Queremos achar como a sombra está mudando no tempo, ou seja, dL/dt. Para isso, vamos expressar L em termos de theta:
L = Htan(theta)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo t para encontrar dL/dt:
dLdt = ddt(Htan(theta))

Passo 4

Lembrando que ddt(tan(theta)) = sec^2(theta) cdot dthetadt, podemos aplicar a regra da cadeia:
dLdt = -Htan^2(theta) cdot sec^2(theta) cdot dthetadt
Simplificando 1tan^2(theta) cdot sec^2(theta):
1tan^2(theta) cdot sec^2(theta) = 1 + tan^2(theta) cdot 1tan^2(theta) = 1 + 1 = 2
Mas na verdade, mais precisamente:
sec^2(theta)tan^2(theta) = 1sin^2(theta)
Então,
dLdt = -Hsin^2(theta) cdot dthetadt

Passo 5

Sabemos que dthetadt = -alpha (porque o ângulo está diminuindo). Substituindo:
dLdt = -Hsin^2(theta) cdot (-alpha) = H alphasin^2(theta)

Passo 6

Agora, precisamos encontrar sin(theta) quando a sombra L é 60% da altura do prédio, ou seja, L = 0,6H. Voltando à relação L = Htan(theta):
0,6H = Htan(theta) implies tan(theta) = 10,6 = 53
Então,
sin(theta) = tan(theta)raiz1 + tan^2(theta) = 53raiz1 + (53)^2 = 53raiz1 + 259 = 53raiz349 = 5raiz34
Portanto,
sin^2(theta) = (5raiz34)^2 = 2534

Passo 7

Substituindo sin^2(theta) na expressão de dL/dt:
dLdt = H alpha2534 = H alpha cdot 3425 = 3425 H alpha

Resposta

A rapidez com que a sombra está sendo projetada é 3425 H alpha.

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