O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a
rad/h. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura
, no instante que a sombra medir
da aultura do prédio é:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o ângulo de elevação do sol que está diminuindo a uma certa taxa, representada por
rad/h. A gente precisa descobrir quão rápido a sombra de um prédio está aumentando quando essa sombra está com 60% da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e derivadas relacionadas ao movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o comprimento da sombra (
) com o ângulo de elevação do sol (
). Quando o sol está formando um ângulo
com o horizonte, a sombra do prédio de altura
pode ser descrita pela relação trigonométrica:
Aqui,
é igual à altura do prédio dividida pelo comprimento da sombra.
Passo 3
Queremos achar como a sombra está mudando no tempo, ou seja,
. Para isso, vamos expressar
em termos de
:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo
para encontrar
:
Passo 4
Lembrando que
, podemos aplicar a regra da cadeia:
Simplificando
:
Mas na verdade, mais precisamente:
Então,
Passo 5
Sabemos que
(porque o ângulo está diminuindo). Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
quando a sombra
é 60% da altura do prédio, ou seja,
. Voltando à relação
:
Então,
Portanto,
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A rapidez com que a sombra está sendo projetada é
.