Uma bala de 10 g é disparada contra um bloco de madeira de 1200 g suspenso por um barbante de 150 cm de comprimento. A bala se incrusta no bloco, e este, então, oscila até o fio formar 40^circ com a vertical. Qual era o valor da velocidade da bala?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bala de 10 g que atinge e se incrusta em um bloco de madeira de 1200 g, que está pendurado por um barbante de 150 cm. Depois que a bala se prende no bloco, o conjunto começa a oscilar até que o barbante faça um ângulo de 40^circ com a vertical. A pergunta é: qual era a velocidade da bala antes do impacto?
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da física: conservação do momento (para a colisão entre a bala e o bloco) e conservação da energia (para o movimento oscilatório que ocorre depois). Vamos dividir a solução em etapas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a conservação do momento para descobrir a velocidade do conjunto (bala + bloco) imediatamente após a colisão. A ideia aqui é que o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois dela, já que não há forças externas agindo no sistema durante o impacto.
A fórmula para o momento ( p) é:
p = m times v
onde m é a massa e v é a velocidade.

Passo 3

Vamos identificar as massas e as velocidades antes e depois da colisão:
  • Massa da bala ( mb): 10 g = 0,010 kg
  • Massa do bloco ( mbloco): 1200 g = 1,200 kg
  • Velocidade da bala antes do impacto ( vb): é o que queremos encontrar
  • Velocidade do bloco antes do impacto: como o bloco está suspenso e parado, sua velocidade é 0.
Depois da colisão, a massa combinada é:
mtotal = mb + mbloco = 0,010,kg + 1,200,kg = 1,210,kg
Vamos chamar a velocidade do conjunto após a colisão de v.

Passo 4

Aplicando a conservação do momento:
momento antes = momento depois
mb times vb + mbloco times 0 = mtotal times v
Simplificando:
0,010,kg times vb = 1,210,kg times v

Passo 5

Agora, precisamos descobrir v. Para isso, vamos utilizar a conservação da energia durante o movimento oscilatório. Quando o conjunto sobe até formar um ângulo de 40^circ, toda a energia cinética dele se transforma em energia potencial gravitacional.
A energia cinética ( Ec) é:
Ec = 12 m v^2
A energia potencial gravitacional ( Ep) é:
Ep = m g h
onde h é a altura que o conjunto sobe.

Passo 6

Vamos calcular a altura h usando trigonometria. O barbante tem 150 cm de comprimento, e o ângulo com a vertical é 40^circ. A altura que o conjunto sobe é a diferença entre o comprimento do barbante e o segmento adjacente ao ângulo.
h = L - L cos(theta) = L(1 - cos(theta))
onde L = 1,50,m e theta = 40^circ.
Calculando:
h = 1,50,m times (1 - cos(40^circ))

Passo 7

Agora, igualamos a energia cinética à energia potencial:
12 mtotal v^2 = mtotal g h
Podemos cancelar mtotal dos dois lados:
12 v^2 = g h
Isolando v:
v = raiz2 g h

Passo 8

Vamos calcular h:
h = 1,50,m times (1 - cos(40^circ)) approx 1,50,m times (1 - 0,7660) approx 1,50,m times 0,2340 approx 0,351,m
Agora, calculando v:
v = raiz2 times 9,81,m/s^2 times 0,351,m approx raiz6,9006 approx 2,627,m/s

Passo 9

Voltando à equação da conservação do momento:
0,010,kg times vb = 1,210,kg times 2,627,m/s
Calculando:
vb = 1,210,kg times 2,627,m/s0,010,kg = 3,178,kg cdot m/s0,010,kg = 317,8,m/s

Resposta

A velocidade da bala antes do impacto era de aproximadamente 318 m/s.

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