Se o ângulo de fase de um sistema bloco-mola em MHS é \pi / 6 rad e a posição do bloco é dada por x=x_{m} \cos (\omega t+\varphi), qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t=0 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema massa-mola em movimento harmônico simples com posição
x = x_{m}\cos(\omega t + \varphi)
e deslocamento de fase \varphi = \tfrac{\pi}{6}. Queremos a razão entre a energia cinética
T = \tfrac{1}{2}m v^{2}
e a energia potencial
U = \tfrac{1}{2}k x^{2}
no instante t=0. Para isso, vamos usar também a relação de MHS
\frac{k}{m} = \omega^{2}.

Passo 2

A razão procurada é
\frac{T}{U} = \frac{\tfrac12 m v^{2}}{\tfrac12 k x^{2}} = \frac{m v^{2}}{k x^{2}} = \frac{v^{2}}{(\tfrac{k}{m})\,x^{2}} = \frac{v^{2}}{\omega^{2}x^{2}}.

Passo 3

No instante t=0 temos
x(0) = x_{m}\cos\bigl(\varphi\bigr) = x_{m}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = x_{m}\,\frac{\sqrt{3}}{2},
e
v(t) = \frac{dx}{dt} = -\,x_{m}\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \;\Longrightarrow\; v(0) = -\,x_{m}\,\omega\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\,x_{m}\,\omega\,\frac{1}{2}.

Passo 4

Substituindo em \tfrac{T}{U} = \tfrac{v^{2}}{\omega^{2}x^{2}}:
v^{2}(0) = \bigl(x_{m}\omega\tfrac12\bigr)^{2} = x_{m}^{2}\omega^{2}\,\frac{1}{4}, \quad \omega^{2}x^{2}(0) = \omega^{2}\bigl(x_{m}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{2} = x_{m}^{2}\omega^{2}\,\frac{3}{4}.
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\frac{T}{U} = \frac{x_{m}^{2}\omega^{2}\,\tfrac{1}{4}}{x_{m}^{2}\omega^{2}\,\tfrac{3}{4}} = \frac{1}{3}.

Resposta

A razão entre a energia cinética e a energia potencial em t=0 é \tfrac{1}{3}.

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