Em um barbeador elétrico a lâmina se move para a frente e para trás, ao longo de uma distância de 2,0 \mathrm{~mm}, em um movimento harmônico simples com uma freqüência de 120 Hz . Determine (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.

Passo 1

O enunciado descreve o movimento da lâmina de um barbeador como um movimento harmônico simples (MHS) de frequência f=120\\ \mathrm{Hz} e deslocamento total peak‐to‐peak de 2{,}0\\ \mathrm{mm}. Precisamos achar (a) a amplitude A, (b) a velocidade máxima v_{\text{max}} e (c) o módulo da aceleração máxima a_{\text{max}}. Vamos usar as fórmulas do MHS:
\omega = 2\pi f,\quad v_{\text{max}} = A\,\omega,\quad a_{\text{max}} = A\,\omega^2.

Passo 2

Em MHS, a amplitude A é metade do deslocamento total peak‐to‐peak. Como o deslocamento total é 2{,}0\\ \mathrm{mm},
A = \frac{2{,}0\\ \mathrm{mm}}{2} = 1{,}0\\ \mathrm{mm}.
Convertendo para o SI:
A = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calculemos primeiro a velocidade angular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 120\\ \mathrm{Hz} = 240\pi\\ \mathrm{rad/s}.
A velocidade máxima no MHS é
v_{\text{max}} = A\,\omega = (1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m})\,(240\pi\\ \mathrm{rad/s}) = 0{,}240\pi\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

O módulo da aceleração máxima é dado por
a_{\text{max}} = A\,\omega^2 = (1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m})\,(240\pi\\ \mathrm{rad/s})^2.
Calculando:
(240\pi)^2 = 57600\,\pi^2\approx57600\times9{,}87\approx5{,}69\times10^5,
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a_{\text{max}}\approx1{,}0\times10^{-3}\times5{,}69\times10^5\\ \mathrm{m/s^2}\approx5{,}7\times10^2\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) A = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
(b) v_{\text{max}}\approx0{,}75\\ \mathrm{m/s}.
(c) a_{\text{max}}\approx5{,}7\times10^2\\ \mathrm{m/s^2}.

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