Uma mola de massa desprezível está pendurada em um teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y_{i} tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10 cm abaixo de y_{i}. (a) Qual é a freqüência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 8,0 \mathrm{~cm} abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da freqüência original. Qual é a massa do primeiro objeto? (d) A que distância abaixo de y_{i} está a nova posição de equilíbrio (repouso), com os dois objetos presos à mola?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola, com mola de massa desprezível e constante elástica k, preso a um objeto de massa m. A posição y_{i} é aquela em que a mola está em seu comprimento natural (sem alongamento). Soltando o objeto de y_{i}, ele desce até 10 cm abaixo de y_{i} no ponto mais baixo. Precisamos usar teoria de oscilações harmônicas simples (SHO), em que a frequência é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad f = \frac{\omega}{2\pi},
a energia mecânica conservada e a posição de equilíbrio estático \delta = \tfrac{mg}{k}.

Passo 2

Determinar a extensão estática \delta e a frequência.
Quando o objeto é solto de y_{i}, a mola passa pelo ponto de equilíbrio estático y_{i}+\delta e alcança máxima extensão em y_{\min}=y_{i}+0{,}10 m. Em SHO, a amplitude em torno do ponto de equilíbrio é
A = \delta.
Como y_{\min}=y_{i}+( \delta + A), temos
\delta + A = 0{,}10\quad\Longrightarrow\quad 2\delta = 0{,}10\;\mathrm{m} \quad\Rightarrow\quad \delta = 0{,}05\;\mathrm{m}.
Então
\omega = \sqrt{\frac{g}{\delta}} = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}05}} \approx 14{,}0\;\mathrm{rad/s},
f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{14{,}0}{2\pi} \approx 2{,}23\;\mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular a velocidade em y= y_{i}+0{,}08 m.
Definindo x=y-(y_{i}+\delta) como deslocamento em relação ao equilíbrio, em y=0{,}08 m tem-se
x = 0{,}08 - 0{,}05 = 0{,}03\;\mathrm{m}.
Usamos conservação de energia ou fórmula da velocidade em SHO,
v = \omega\,\sqrt{A^{2} - x^{2}} = 14{,}0\;\sqrt{(0{,}05)^{2} - (0{,}03)^{2}} = 14{,}0\;\sqrt{0{,}0025 - 0{,}0009} = 14{,}0\;\sqrt{0{,}0016} = 14{,}0 \times 0{,}04 = 0{,}56\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a massa m_{1} original sabendo que, ao pendurar mais m_{2}=0{,}30 kg, a nova frequência é metade da original.
Originalmente
f_{1} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{1}}}.
Com as duas massas
f_{2} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{1}+m_{2}}} = \frac{f_{1}}{2}.
Isto dá
\sqrt{\frac{k}{m_{1}+0{,}30}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m_{1}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{m_{1}+0{,}30}} = \frac{1}{4\,m_{1}} \quad\Longrightarrow\quad 4\,m_{1} = m_{1} + 0{,}30
3\,m_{1} = 0{,}30 \quad\Rightarrow\quad m_{1} = 0{,}10\;\mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a nova posição de equilíbrio (extensão estática) com as duas massas.
A extensão estática agora é
\delta' = \frac{(m_{1}+m_{2})\,g}{k} = \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\,\delta = \frac{0{,}10+0{,}30}{0{,}10}\times 0{,}05 = 4\times 0{,}05 = 0{,}20\;\mathrm{m}.

Resposta

(a) f\approx 2{,}23\;\mathrm{Hz}.
(b) v\approx 0{,}56\;\mathrm{m/s}.
(c) m_{1}=0{,}10\;\mathrm{kg}.
(d) A nova posição de equilíbrio fica 0{,}20\;\mathrm{m} abaixo de y_{i}.

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