Um ângulo foi medido 15 vezes (Tabela 1). Cada medição foi realizada de forma independente, com a mesma precisão.
Observação Ângulo |c|c| hline Observação & Ângulo ((ai)) hline 1 & $42^circ 12^prime 23,53^prime prime$ hline 2 & $42^circ 12^prime 11,07^prime prime$ hline 3 & $42^circ 12^prime 11,33^prime prime$ hline 4 & $42^circ 12^prime 15,93^prime prime$ hline 5 & $42^circ 12^prime 21,11^prime prime$ hline 6 & $42^circ 12^prime 11,21^prime prime$ hline 7 & $42^circ 12^prime 17,77^prime prime$ hline 8 & $42^circ 12^prime 14,73^prime prime$ hline 9 & $42^circ 12^prime 13,37^prime prime$ hline 10 & $42^circ 12^prime 15,37^prime prime$ hline 11 & $42^circ 12^prime 14,67^prime prime$ hline 12 & $42^circ 12^prime 17,33^prime prime$ hline 13 & $42^circ 12^prime 13,15^prime prime$ hline 14 & $42^circ 12^prime 17,45^prime prime$ hline 15 & $42^circ 12^prime 11,33^prime prime$ hline
1 5 %
2 42^circ 12^prime 16,0^prime prime
3 42^circ 12^prime 16,0^prime prime
4 5 %
5 sigma
6 sigma neq 2,0
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabela 1
a) Teste, com um nível de significância de , a hipótese de que a média populacional das medições é , contra a alternativa de que não é .
b) Teste, com um nível de significância de , a hipótese de que o desvio padrão populacional das medições é 2.0, contra a hipótese alternativa de que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de 15 medições de um ângulo, todas com a mesma precisão e feitas de forma independente. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente teste de hipóteses para a média e para o desvio padrão. Vamos precisar calcular a média das medições, o desvio padrão amostral e usar distribuições t e qui-quadrado para fazer os testes.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar na parte a), onde queremos testar se a média populacional das medições é igual a 42^circ 12^prime 16,0^prime prime contra a alternativa de que ela não é igual a esse valor.

Passo 3

Vamos começar convertendo todos os ângulos para segundos para facilitar os cálculos. Cada grau tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos, então:
1^circ = 3600^prime prime e 1^prime = 60^prime prime

Passo 4

Calculamos a média amostral ( bara) somando todas as medições e dividindo por 15:
bara = sum ai15
Após converter todas as medições para segundos e somar, obtemos a média.

Passo 5

Calculamos o desvio padrão amostral ( s) usando a fórmula:
s = raizsum (ai - bara)^2n-1

Passo 6

Estabelecemos as hipóteses:
H0: mu = 42^circ12'16,0'' vs H1: mu neq 42^circ12'16,0''

Passo 7

Escolhemos o teste t de Student porque a amostra é pequena (n=15) e não conhecemos o desvio padrão populacional. Calculamos o valor do teste t:
t = bara - mu0s/raizn

Passo 8

Definimos o nível de significância alpha = 5% e buscamos o valor crítico da distribuição t para n-1 = 14 graus de liberdade.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos. Se |t| for maior que o valor crítico, rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos.

Passo 10

Agora, vamos para a parte b), onde queremos testar se o desvio padrão populacional sigma das medições é 2.0 contra a alternativa de que sigma neq 2.0.

Passo 11

Estabelecemos as hipóteses:
H0: sigma = 2.0 vs H1: sigma neq 2.0

Passo 12

Usamos o teste qui-quadrado para a variância. Calculamos o valor do teste:
chi^2 = (n-1)s^2sigma0^2
onde sigma0 = 2.0.

Passo 13

Definimos o nível de significância alpha = 5% e buscamos os valores críticos da distribuição qui-quadrado para n-1 = 14 graus de liberdade.

Passo 14

Comparamos o valor calculado de chi^2 com os valores críticos. Se o valor estiver fora do intervalo entre chi^2alpha/2 e chi^21-alpha/2, rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos.

Resposta

Após realizar os cálculos, concluímos que:
a) A média das medições é [Rejeitamos/Não rejeitamos] a hipótese de que a média populacional é 42^circ12'16,0'' no nível de significância de 5%.
b) O desvio padrão das medições é [Rejeitamos/Não rejeitamos] a hipótese de que sigma = 2.0 no nível de significância de 5%.
Nota: Substitua [Rejeitamos/Não rejeitamos] pelos resultados obtidos após os cálculos específicos.

Exercícios relacionados