Um ângulo foi medido 15 vezes (Tabela 1). Cada medição foi realizada de forma independente, com a mesma precisão.
Observação
Ângulo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabela 1
a) Teste, com um nível de significância de
, a hipótese de que a média populacional das medições é
, contra a alternativa de que não é
.
b) Teste, com um nível de significância de
, a hipótese de que o desvio padrão populacional
das medições é 2.0, contra a hipótese alternativa de que
Observação | Ângulo
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1 |
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15 |
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a) Teste, com um nível de significância de
b) Teste, com um nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de 15 medições de um ângulo, todas com a mesma precisão e feitas de forma independente. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente teste de hipóteses para a média e para o desvio padrão. Vamos precisar calcular a média das medições, o desvio padrão amostral e usar distribuições t e qui-quadrado para fazer os testes.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar na parte a), onde queremos testar se a média populacional das medições é igual a
contra a alternativa de que ela não é igual a esse valor.
Passo 3
Vamos começar convertendo todos os ângulos para segundos para facilitar os cálculos. Cada grau tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos, então:
Passo 4
Calculamos a média amostral (
) somando todas as medições e dividindo por 15:
Após converter todas as medições para segundos e somar, obtemos a média.
Passo 5
Calculamos o desvio padrão amostral (
) usando a fórmula:
Passo 6
Estabelecemos as hipóteses:
Passo 7
Escolhemos o teste t de Student porque a amostra é pequena (n=15) e não conhecemos o desvio padrão populacional. Calculamos o valor do teste t:
Passo 8
Definimos o nível de significância
e buscamos o valor crítico da distribuição t para
graus de liberdade.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos. Se
for maior que o valor crítico, rejeitamos
; caso contrário, não rejeitamos.
Passo 10
Agora, vamos para a parte b), onde queremos testar se o desvio padrão populacional
das medições é 2.0 contra a alternativa de que
.
Passo 11
Estabelecemos as hipóteses:
Passo 12
Usamos o teste qui-quadrado para a variância. Calculamos o valor do teste:
onde
.
Passo 13
Definimos o nível de significância
e buscamos os valores críticos da distribuição qui-quadrado para
graus de liberdade.
Passo 14
Comparamos o valor calculado de
com os valores críticos. Se o valor estiver fora do intervalo entre
e
, rejeitamos
; caso contrário, não rejeitamos.
Resposta
Após realizar os cálculos, concluímos que:
a) A média das medições é [Rejeitamos/Não rejeitamos] a hipótese de que a média populacional é
no nível de significância de 5%.
b) O desvio padrão das medições é [Rejeitamos/Não rejeitamos] a hipótese de que
no nível de significância de 5%.
Nota: Substitua [Rejeitamos/Não rejeitamos] pelos resultados obtidos após os cálculos específicos.