Um ângulo foi medido em quatro etapas (Tabela 2). Tomando pesos proporcionais ao número de observações, estimar o valor do ângulo e sua precisão.
Ângulo Observação Peso
|c|c|c| hline Ângulo & Observação & Peso hline $80^circ 50^prime 12^prime prime$ & 1 & 2 hline $80^circ 50^prime 14^prime prime$ & 2 & 1 hline $80^circ 50^prime 12^prime prime$ & 3 & 3 hline $80^circ 50^prime 18^prime prime$ & 4 & 2 hline 1 2
2 1
3 3
4 2
Tabela 2

Passo 1

Resumo rápido: a gente tem quatro medidas de um ângulo, cada uma “pesada” de acordo com quantas observações ela representa. Queremos achar o valor médio desse ângulo (usando média ponderada) e dizer qual é a precisão dessa média.
Conteúdo: média ponderada e desvio padrão (precisão) de um conjunto de medidas com pesos. Vamos precisar:
  • Converter tudo para uma mesma unidade (segundos de arco).
  • Saber a fórmula da média ponderada:
bar x = sumi wi xisumi wi
  • Saber como calcular a precisão (erro da média): primeiro a variância ponderada e depois o desvio padrão da média.

Passo 2

Converter cada ângulo em segundos de arco e listar pesos:
Observações:
  1. W = sumi wi = 2+1+3+2 = 8 , peso
  2. , peso
  3. , peso
  4. , peso
    Total de pesos:

Passo 3

Calcular a média ponderada usando
bar x = sumi=1^4 wi,xiW
Substituindo:
bar x = 2cdot291012 + 1cdot291014 + 3cdot291012 + 2cdot2910188 = 2,582024 + 291014 + 3,873036 + 2,5820368 = 23281108 =291013.75''
Convertendo de volta para graus-minutos-segundos:
291013.75'' = 80°;50';13.75''

Passo 4

Agora a precisão (erro da média). Primeiro a variância ponderada (como se cada observação valesse sigma^2 = sumi wi,(xi - bar x)^2W-1 medidas):
sumi wi,(xi-bar x)^2 = 15.3125 + 0.0625 + 36.125 = 51.5
(esse sigma^2 = 51.58-1 = 51.57 approx 7.3571, sigma approx raiz7.3571 approx 2.713;'' é para ter a estimativa não tendenciosa).
Calcular sigmabar x = sigmaraizW = 2.713raiz8 approx 0.96;'' e multiplicar por :
  • Para : , . Pesos 2 e 3 dão .
  • Para : , , peso 1 → .
  • Para : , , peso 2 → .
    Somando tudo:
Então
Esse é o desvio-padrão das medidas “reunidas”. Mas a precisão da média (erro padrão da média) é

Resposta

O valor estimado do ângulo é
boxed80°,50',13.75'';pm;0.96''

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