Um distribuidor compra peças por 10 centavos e vende-as por 15 centavos. Entretanto ele não pode devolver as peças que não tenha vendido. Se a demanda diária for uma variável aleatória binomial. Com n=10 e p=1 / 3, aproximadamente quantas peças ele deve comprar de forma que maximize o seu lucro esperado?

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: um cara compra cada peça por R$ 0,10 e vende por R$ 0,15, mas não devolve o que sobrar. A demanda diária é uma variável binomial com 0,10 e vende por R e n=10. A gente quer saber quantas peças comprar para maximizar o lucro esperado.
Conteúdo: modelo newsvendor (ou problema da encomenda ótima) + distribuição binomial. Vamos usar a ideia do “critical fractile” e depois calcular a CDF da binomial para achar o tal ponto ótimo.

Passo 2

Teoria que vamos usar: no problema newsvendor, definimos
  • lucro unitário se vendemos a peça: s - c = 0,15 - 0,10 = 0,05
  • custo de sobra (overstock) se não vendemos: c - v = 0,10 - 0 = 0,10 (aqui o valor de revenda v é zero)
O “critical fractile” é
alpha = lucro unitáriolucro unitário + custo de sobra = 0,050,05 + 0,10 = 13 approx 0,3333 áá
A regra é: escolhe a menor quantidade Q tal que
P(Demanda <= Q) ;>=; alpha

Passo 3

Agora vamos calcular a CDF da Bin(n=10,p=1/3) até achar o primeiro Q com F(Q)>=0,3333.
A gente precisa de
P(D=k) = binom10kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^10-k
e acumular pra k=0,1,2,dots
  • P(D<=0) = (2/3)^10 approx 0,0173
  • P(D<=1) = P(D<=0) + 10cdot13l(23r)^9 approx 0,0173 + 0,0867 = 0,1040
  • P(D<=2) = 0,1040 + binom102l(tfrac13r)^2l(tfrac23r)^8 approx 0,1040 + 0,1950 = 0,2990
  • P(D<=3) = 0,2990 + binom103l(tfrac13r)^3l(tfrac23r)^7 approx 0,2990 + 0,2604 = 0,5594
Repara que em Q=2 a CDF ficou em 0,2990<0,3333, mas em Q=3 já deu 0,5594>0,3333. Então o menor Q com CDF ≥ critical fractile é Q=3.

Resposta

Ele deve comprar aproximadamente 3 peças para maximizar o lucro esperado.

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