Um esquiador desce uma encosta que tem uma inclinação de
. Surpreendentemente, o esquiador está em repouso quando começa a se mover, retendo parcialmente a neve, reduzindo o atrito e facilitando o deslizamento. A graxa usada nos esquis também contribui para o deslizamento, reduzindo o atrito entre a base do esqui e a neve, através do derretimento da neve. O esquiador, cujo esqui, feito de um material recentemente desenvolvido, foi utilizado por um esquiador de teste. Os resultados foram surpreendentes, o que permitiu reduzir o atrito. (a) Determine os módulos da aceleração. (b) Suponha que a inclinação seja de
, determine o coeficiente de atrito cinético para cada caso.
Passo 1
O enunciado descreve um esquiador que desce uma encosta com inclinação de
. Há menção a dois casos (efeitos diferentes sobre o atrito: retenção parcial de neve e graxa nos esquis), e pede:
(a) determinar os módulos das acelerações;
(b) supondo , determinar o coeficiente de atrito cinético em cada caso.
(a) determinar os módulos das acelerações;
(b) supondo
Informações fornecidas explicitamente:
- Inclinação:
(apenas para a parte (b) o enunciado pede que se suponha isso). - Contexto indica que existem dois casos distintos de atrito (maior atrito quando há retenção de neve; menor atrito quando há graxa), mas o enunciado NÃO fornece valores numéricos dos coeficientes de atrito
nem medidas experimentais das acelerações.
Observação importante (sem resolver ainda): para calcular módulos de aceleração numericamente é necessário conhecer os coeficientes de atrito
de cada caso (ou então ter medidas experimentais das acelerações). Esses dados não aparecem no enunciado enviado.
Passo 2
Desenho mental e forças envolvidas — vamos entender a física básica (aula rápida e leve). Considere o esquiador como um corpo de massa
deslizando por um plano inclinado de ângulo
. As forças relevantes são:
- Peso:
com módulo , vertical para baixo. - Força normal:
, perpendicular ao plano. - Força de atrito cinético:
, tangente ao plano, apontando contrária ao movimento, com módulo .
Decompondo o peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
- Componente paralela que puxa para baixo no plano:
. - Componente perpendicular que é equilibrada pela normal:
.
Explicação do porquê: imaginamos um triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor peso; a componente paralela é proporcional a
porque ela corresponde à projeção do peso na direção inclinada, e a perpendicular a
. Isso é padrão para planos inclinados — decorre de trigonometria simples.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano (escolhemos a direção positiva para baixo no plano):
A resultante é .
Como e
(não há aceleração perpendicular), temos
.
A resultante é
Como
Portanto, pela lei de Newton:
Cancelando
(assumimos
):
Coloquei tudo explicitamente:
é a aceleração ao longo do plano;
é a aceleração da gravidade (use
se precisar de valor numérico);
é o ângulo;
é o coeficiente de atrito cinético do caso considerado.
Passo 4
Interpretação da fórmula e condição de movimento (insight útil para prova).
- Se
então e o corpo acelera para baixo no plano. - Se
então (movimento uniforme ou equilíbrio de forças). - Se
então , o que significaria aceleração para cima no plano — fisicamente, isso indica que, se tentássemos empurrar para baixo, a força de atrito excede a componente do peso e o corpo não desliza para baixo (na realidade entra em equilíbrio estático se a força de atrito disponível for estática). Para decidir se começa a deslizar, usamos o coeficiente de atrito estático : o corpo só começa a deslizar se . Aqui estamos tratando do atrito cinético já em deslizamento.
Comentário sobre o enunciado que diz “o esquiador está em repouso quando começa a se mover”: isso é uma fórmula coloquial dizendo que inicialmente estava parado e então passou a deslizar — o que fisicamente significa que a força de atrito estático foi vencida e, uma vez em movimento, aplica-se o atrito cinético da fórmula anterior.
Passo 5
Como encontrar o coeficiente de atrito cinético a partir de uma aceleração medida (fórmula para a prova).
Se em experimento ou em enunciado tivermos a aceleração medida para uma inclinação
, podemos isolar
em
Se em experimento ou em enunciado tivermos a aceleração medida
Rearranjando para
:
logo
Uma forma equivalente, útil para interpretação:
Aqui cada símbolo significa:
-
: coeficiente de atrito cinético (o que queremos encontrar em (b)); -
: aceleração medida ao longo do plano (módulo e sinal conforme convenção); -
: aceleração da gravidade; -
: ângulo do plano.
Passo 6
Conclusão sobre possibilidade de cálculo numérico com os dados fornecidos.
- Para responder numericamente (a) módulos das acelerações em cada caso precisamos de
de cada caso. - Para responder numericamente (b) coeficientes
precisamos das acelerações medidas em cada caso (ou de outra informação numérica equivalente).
O enunciado enviado não fornece nem os valores denem medidas de . Portanto não é possível calcular números concretos sem informação adicional.
Passo 7
Vou mostrar como aplicar as fórmulas com um exemplo numérico didático (para você ver o procedimento passo a passo que vale na prova). Suponha
e
.
Exemplo A — calcular
a partir de um
suposto:
Suponha . Então
Suponha
Calcule
e
(na prova, você pode usar tabela ou calculadora quando permitida; aqui só para mostrar):
,
.
Então
Então
Exemplo B — calcular
a partir de uma aceleração medida:
Suponha medimos em
. Então
Suponha medimos
Esses cálculos são exatamente o tipo de conta que você fará na prova quando tiver os números dados.
Passo 8
Resumo final e instrução prática para a prova:
- Use a fórmula
para obter a aceleração a partir de um conhecido. - Use a fórmula
para obter a partir de uma aceleração medida. - Sem valores numéricos de
ou de para cada caso (retenção de neve e graxa), não há como fornecer números finais.
Resposta
(a) A fórmula geral para o módulo da aceleração em um plano inclinado é
. Não é possível determinar valores numéricos sem os coeficientes
(ou sem as acelerações medidas) para cada caso.
(b) A fórmula que dá o coeficiente de atrito cinético a partir da aceleração é . Para
ainda não se pode calcular numericamente
sem conhecer
em cada caso (ou outra informação numérica equivalente).
(b) A fórmula que dá o coeficiente de atrito cinético a partir da aceleração é