Um esquiador desce uma encosta que tem uma inclinação de 25^{\circ}. Surpreendentemente, o esquiador está em repouso quando começa a se mover, retendo parcialmente a neve, reduzindo o atrito e facilitando o deslizamento. A graxa usada nos esquis também contribui para o deslizamento, reduzindo o atrito entre a base do esqui e a neve, através do derretimento da neve. O esquiador, cujo esqui, feito de um material recentemente desenvolvido, foi utilizado por um esquiador de teste. Os resultados foram surpreendentes, o que permitiu reduzir o atrito. (a) Determine os módulos da aceleração. (b) Suponha que a inclinação seja de 25^{\circ}, determine o coeficiente de atrito cinético para cada caso.

Passo 1

O enunciado descreve um esquiador que desce uma encosta com inclinação de 25^\circ. Há menção a dois casos (efeitos diferentes sobre o atrito: retenção parcial de neve e graxa nos esquis), e pede:
(a) determinar os módulos das acelerações;
(b) supondo \theta=25^\circ, determinar o coeficiente de atrito cinético em cada caso.
Informações fornecidas explicitamente:
  • Inclinação: \theta=25^\circ (apenas para a parte (b) o enunciado pede que se suponha isso).
  • Contexto indica que existem dois casos distintos de atrito (maior atrito quando há retenção de neve; menor atrito quando há graxa), mas o enunciado NÃO fornece valores numéricos dos coeficientes de atrito \mu_k nem medidas experimentais das acelerações.
Observação importante (sem resolver ainda): para calcular módulos de aceleração numericamente é necessário conhecer os coeficientes de atrito \mu_k de cada caso (ou então ter medidas experimentais das acelerações). Esses dados não aparecem no enunciado enviado.

Passo 2

Desenho mental e forças envolvidas — vamos entender a física básica (aula rápida e leve). Considere o esquiador como um corpo de massa m deslizando por um plano inclinado de ângulo \theta. As forças relevantes são:
  • Peso: \vec{P} com módulo mg, vertical para baixo.
  • Força normal: \vec{N}, perpendicular ao plano.
  • Força de atrito cinético: \vec{f}_k, tangente ao plano, apontando contrária ao movimento, com módulo f_k=\mu_k N.
Decompondo o peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
  • Componente paralela que puxa para baixo no plano: mg\sin\theta.
  • Componente perpendicular que é equilibrada pela normal: mg\cos\theta.
Explicação do porquê: imaginamos um triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor peso; a componente paralela é proporcional a \sin\theta porque ela corresponde à projeção do peso na direção inclinada, e a perpendicular a \cos\theta. Isso é padrão para planos inclinados — decorre de trigonometria simples.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano (escolhemos a direção positiva para baixo no plano):
A resultante é F_{\text{res}} = mg\sin\theta - f_k.
Como f_k=\mu_k N e N=mg\cos\theta (não há aceleração perpendicular), temos f_k=\mu_k mg\cos\theta.
Portanto, pela lei de Newton:
m a = mg\sin\theta - \mu_k m g \cos\theta.
Cancelando m (assumimos m\neq 0):
a = g\sin\theta - \mu_k g \cos\theta.
Coloquei tudo explicitamente: a é a aceleração ao longo do plano; g é a aceleração da gravidade (use g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} se precisar de valor numérico); \theta é o ângulo; \mu_k é o coeficiente de atrito cinético do caso considerado.

Passo 4

Interpretação da fórmula e condição de movimento (insight útil para prova).
  • Se g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta>0 então a>0 e o corpo acelera para baixo no plano.
  • Se g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta=0 então a=0 (movimento uniforme ou equilíbrio de forças).
  • Se g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta<0 então a<0, o que significaria aceleração para cima no plano — fisicamente, isso indica que, se tentássemos empurrar para baixo, a força de atrito excede a componente do peso e o corpo não desliza para baixo (na realidade entra em equilíbrio estático se a força de atrito disponível for estática). Para decidir se começa a deslizar, usamos o coeficiente de atrito estático \mu_s: o corpo só começa a deslizar se \tan\theta>\mu_s. Aqui estamos tratando do atrito cinético já em deslizamento.
Comentário sobre o enunciado que diz “o esquiador está em repouso quando começa a se mover”: isso é uma fórmula coloquial dizendo que inicialmente estava parado e então passou a deslizar — o que fisicamente significa que a força de atrito estático foi vencida e, uma vez em movimento, aplica-se o atrito cinético da fórmula anterior.

Passo 5

Como encontrar o coeficiente de atrito cinético a partir de uma aceleração medida (fórmula para a prova).
Se em experimento ou em enunciado tivermos a aceleração medida a para uma inclinação \theta, podemos isolar \mu_k em
a = g\sin\theta - \mu_k g \cos\theta.
Rearranjando para \mu_k:
\mu_k g\cos\theta = g\sin\theta - a,
logo
\mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}.
Uma forma equivalente, útil para interpretação:
\mu_k = \tan\theta - \frac{a}{g\cos\theta}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \mu_k: coeficiente de atrito cinético (o que queremos encontrar em (b));
  • a: aceleração medida ao longo do plano (módulo e sinal conforme convenção);
  • g: aceleração da gravidade;
  • \theta: ângulo do plano.

Passo 6

Conclusão sobre possibilidade de cálculo numérico com os dados fornecidos.
  • Para responder numericamente (a) módulos das acelerações em cada caso precisamos de \mu_k de cada caso.
  • Para responder numericamente (b) coeficientes \mu_k precisamos das acelerações medidas em cada caso (ou de outra informação numérica equivalente).
    O enunciado enviado não fornece nem os valores de \mu_k nem medidas de a. Portanto não é possível calcular números concretos sem informação adicional.

Passo 7

Vou mostrar como aplicar as fórmulas com um exemplo numérico didático (para você ver o procedimento passo a passo que vale na prova). Suponha g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e \theta=25^\circ.
Exemplo A — calcular a a partir de um \mu_k suposto:
Suponha \mu_k=0{,}10. Então
a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta).
Calcule \sin25^\circ e \cos25^\circ (na prova, você pode usar tabela ou calculadora quando permitida; aqui só para mostrar):
\sin25^\circ\approx 0{,}4226, \cos25^\circ\approx 0{,}9063.
Então
a \approx 9{,}8\,(0{,}4226 - 0{,}10\cdot 0{,}9063) =9{,}8\,(0{,}4226 - 0{,}09063) =9{,}8\cdot 0{,}33197 \approx 3{,}25\\ \mathrm{m/s^2}.
Exemplo B — calcular \mu_k a partir de uma aceleração medida:
Suponha medimos a=3{,}0\\ \mathrm{m/s^2} em \theta=25^\circ. Então
\mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta} = \frac{9{,}8\cdot 0{,}4226 - 3{,}0}{9{,}8\cdot 0{,}9063} = \frac{4{,}141 - 3{,}0}{8{,}882} \approx \frac{1{,}141}{8{,}882} \approx 0{,}1285.
Esses cálculos são exatamente o tipo de conta que você fará na prova quando tiver os números dados.

Passo 8

Resumo final e instrução prática para a prova:
  • Use a fórmula \displaystyle a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta para obter a aceleração a partir de um \mu_k conhecido.
  • Use a fórmula \displaystyle \mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta} para obter \mu_k a partir de uma aceleração medida.
  • Sem valores numéricos de \mu_k ou de a para cada caso (retenção de neve e graxa), não há como fornecer números finais.

Resposta

(a) A fórmula geral para o módulo da aceleração em um plano inclinado é a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta. Não é possível determinar valores numéricos sem os coeficientes \mu_k (ou sem as acelerações medidas) para cada caso.
(b) A fórmula que dá o coeficiente de atrito cinético a partir da aceleração é \displaystyle \mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}. Para \theta=25^\circ ainda não se pode calcular numericamente \mu_k sem conhecer a em cada caso (ou outra informação numérica equivalente).

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