Dada a equação geral da hipérbole 16x²-25y²-400=0. O que podemos afirmar sobre a equação reduzida desta hipérbole?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole juntos! A gente tem a equação geral da hipérbole: 16x² - 25y² - 400 = 0²². Nosso objetivo aqui é transformar essa equação geral na forma reduzida da hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer a forma padrão da equação de uma hipérbole e usar algumas técnicas de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma reduzida da equação de uma hipérbole. Existem duas maneiras principais de escrever essa forma, dependendo de como a hipérbole está orientada:
  1. Hipérbole com eixo principal no eixo x:
x²a² - y²b² = 1 ²²²²
  1. Hipérbole com eixo principal no eixo y:
y²b² - x²a² = 1 ²²²²
Aqui, a e b são constantes que determinam a forma e o tamanho da hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos manipular a equação que a gente tem para chegar em uma dessas formas padrões. Começamos com:
16x² - 25y² - 400 = 0 ²²
Primeiro, vamos isolar os termos com ² e ² do número constante. Para isso, adicionamos 400 em ambos os lados da equação:
16x² - 25y² = 400 ²²

Passo 4

O próximo passo é dividir todos os termos da equação por 400, assim:
16x²400 - 25y²400 = 400400 ²²
Simplificando cada termo:
x²25 - y²16 = 1 ²²

Passo 5

Pronto! Agora a equação está na forma reduzida da hipérbole:
x²25 - y²16 = 1 ²²
Isso nos diz várias coisas sobre a hipérbole:
  • Centro da hipérbole: Está na origem (0,0).
  • Eixo principal: Como o termo ² está positivo, o eixo principal está no eixo x.
  • Valores de a e b: Aqui, a² = 25² então a = 5 e b² = 16² então b = 4.

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é x²25 - y²16 = 1²², indicando que o eixo principal está no eixo x, com a = 5 e b = 4.

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