O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,-2,3), \lambda \in \mathbb{R} e a reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(2,-1,3), \gamma \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 21,79^{\circ}
◯ b. 85,91^{\circ}
◯ c. 60^{\circ}
◯ d. 69,08^{\circ}
◯ e. 50^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. Informações importantes fornecidas:
  • Reta r: ponto (1,2,3) e vetor diretor \mathbf{u}=(-1,-2,3).
  • Reta s: ponto (2,-1,4) e vetor diretor \mathbf{v}=(2,-1,3).
    O que é pedido: o valor do ângulo entre as retas r e s, escolhendo entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Entendimento do que significa “ângulo entre retas” e a fórmula que vamos usar.
Quando duas retas no espaço não são paralelas, o ângulo entre elas é o ângulo entre os seus vetores diretores. Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (ou interno) dos vetores,
  • \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores.
    Explicando cada peça:
  • Produto escalar: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Norma: \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
    Observação prática: frequentemente toma-se o ângulo agudo entre as retas, portanto usa-se o valor positivo de \theta com 0^\circ\le\theta\le90^\circ. Se necessário, usar \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}\right) garante isso.

Passo 3

Calcular o produto escalar dos vetores diretores \mathbf{u}=(-1,-2,3) e \mathbf{v}=(2,-1,3).
Usando a definição:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-1)\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot3.
Fazendo as contas passo a passo:
(-1)\cdot2 = -2,\qquad (-2)\cdot(-1)=+2,\qquad 3\cdot3=9.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -2 + 2 + 9 = 9.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}).
Para \mathbf{u}=(-1,-2,3):
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Para \mathbf{v}=(2,-1,3):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
Observação: ambos têm a mesma norma \sqrt{14}.

Passo 5

Calcular o cosseno do ângulo usando a fórmula:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Substituindo os valores que já achamos:
\cos\theta=\frac{9}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\frac{9}{14}.

Passo 6

Determinar o ângulo \theta a partir de \cos\theta=\dfrac{9}{14}.
Assim,
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{9}{14}\right).
Numericamente, \dfrac{9}{14}\approx0,642857. Observação prática: \cos 50^\circ\approx0,642787, muito próximo de 9/14, então o ângulo é praticamente 50^\circ. Calculando com precisão suficiente para escolher a alternativa:
\theta\approx50^\circ.
Portanto a alternativa correta é a que dá 50^\circ.

Resposta

e. 50^\circ

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