O ângulo entre a reta
e a reta
é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. Informações importantes fornecidas:
- Reta
: ponto e vetor diretor . - Reta
: ponto e vetor diretor .
O que é pedido: o valor do ângulo entre as retase , escolhendo entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Entendimento do que significa “ângulo entre retas” e a fórmula que vamos usar.
Quando duas retas no espaço não são paralelas, o ângulo entre elas é o ângulo entre os seus vetores diretores. Para dois vetores
e
o cosseno do ângulo
entre eles é dado por:
onde
-
é o produto escalar (ou interno) dos vetores, -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Explicando cada peça: - Produto escalar: se
e , então . - Norma:
.
Observação prática: frequentemente toma-se o ângulo agudo entre as retas, portanto usa-se o valor positivo decom . Se necessário, usar garante isso.
Passo 3
Calcular o produto escalar dos vetores diretores
e
.
Usando a definição:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
).
Para
:
Para
:
Observação: ambos têm a mesma norma
.
Passo 5
Calcular o cosseno do ângulo usando a fórmula:
Substituindo os valores que já achamos:
Passo 6
Determinar o ângulo
a partir de
.
Assim,
Numericamente,
. Observação prática:
, muito próximo de
, então o ângulo é praticamente
. Calculando com precisão suficiente para escolher a alternativa:
Portanto a alternativa correta é a que dá
.
Resposta
e.