O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(3,-1,3), \lambda \in \mathbb{R} e o plano \pi: 3 x-4 y+2 z-7=0 é:
Escolha uma opção:
◯ a. 27,94^{\circ}
◯ b. 54,04^{\circ}
◯ c. 2,44^{\circ}
◯ d. 17,35^{\circ}
◯ e. 23,39^{\circ}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A reta r tem ponto e vetor diretor dados por X=(1,2,3)+\lambda(3,-1,3). Do enunciado peguei o vetor diretor \,v=(3,-1,3)\,.
  • O plano \pi tem equação 3x-4y+2z-7=0. Do enunciado peguei o vetor normal do plano \,n=(3,-4,2)\,.
  • O que se pede: o ângulo entre a reta r e o plano \pi. Nas alternativas aparecem valores em graus; então preciso calcular esse ângulo e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Conceito importante (explicado de modo simples): o ângulo entre uma reta e um plano é o menor ângulo formado entre a reta e qualquer reta contida no plano que intersecte a primeira. Uma forma prática de calcular esse ângulo usando vetores é a seguinte:
  • Seja \varphi o ângulo entre o vetor diretor da reta v e o vetor normal do plano n. Então o ângulo pedido \theta entre a reta e o plano satisfaz \theta=90^\circ-\varphi.
  • Usando trigonometria, como \cos\varphi=\dfrac{|v\cdot n|}{\lVert v\rVert\lVert n\rVert}, obtemos
\sin\theta=\cos\varphi=\frac{|v\cdot n|}{\lVert v\rVert\lVert n\rVert}.
Logo a fórmula prática é
\theta=\arcsin\!\left(\frac{|v\cdot n|}{\lVert v\rVert\lVert n\rVert}\right).
Essa fórmula dá o ângulo agudo entre 0^\circ e 90^\circ, que é o que queremos.

Passo 3

Identificar os vetores que vou usar (peguei estes vetores do enunciado):
v=(3,-1,3),\qquad n=(3,-4,2).

Passo 4

Calcular o produto escalar v\cdot n:
v\cdot n = 3\cdot 3 + (-1)\cdot(-4) + 3\cdot 2 = 9 + 4 + 6 = 19.

Passo 5

Calcular as normas (comprimentos) dos vetores:
\lVert v\rVert = \sqrt{3^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{9+1+9} = \sqrt{19},
\lVert n\rVert = \sqrt{3^2+(-4)^2+2^2} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29}.

Passo 6

Aplicar a fórmula para \sin\theta:
\sin\theta = \frac{|v\cdot n|}{\lVert v\rVert\lVert n\rVert} = \frac{19}{\sqrt{19}\,\sqrt{29}} = \frac{19}{\sqrt{551}}.
Calculo numérico aproximado (mostrando os passos):
\sqrt{551}\approx 23{,}494\quad\Rightarrow\quad \sin\theta \approx \frac{19}{23{,}494}\approx 0{,}8089.

Passo 7

Determinar o ângulo \theta tomando arco-seno:
\theta = \arcsin(0{,}8089)\approx 54{,}04^\circ.
(Usei a relação \theta=\arcsin(\cdot) do Passo 2; o valor arredondado coincide com a precisão das alternativas.)

Passo 8

Interpretação final e conferência rápida: o resultado é um ângulo agudo \approx 54{,}04^\circ, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

b. 54,04^\circ

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