O ângulo entre a reta
e o plano
é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A reta
tem ponto e vetor diretor dados por . Do enunciado peguei o vetor diretor . - O plano
tem equação . Do enunciado peguei o vetor normal do plano . - O que se pede: o ângulo entre a reta
e o plano . Nas alternativas aparecem valores em graus; então preciso calcular esse ângulo e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Conceito importante (explicado de modo simples): o ângulo entre uma reta e um plano é o menor ângulo formado entre a reta e qualquer reta contida no plano que intersecte a primeira. Uma forma prática de calcular esse ângulo usando vetores é a seguinte:
- Seja
o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Então o ângulo pedido entre a reta e o plano satisfaz . - Usando trigonometria, como
, obtemos
Logo a fórmula prática é
Essa fórmula dá o ângulo agudo entre
e
, que é o que queremos.
Passo 3
Identificar os vetores que vou usar (peguei estes vetores do enunciado):
Passo 4
Calcular o produto escalar
:
Passo 5
Calcular as normas (comprimentos) dos vetores:
Passo 6
Aplicar a fórmula para
:
Calculo numérico aproximado (mostrando os passos):
Passo 7
Determinar o ângulo
tomando arco-seno:
(Usei a relação
do Passo 2; o valor arredondado coincide com a precisão das alternativas.)
Passo 8
Interpretação final e conferência rápida: o resultado é um ângulo agudo
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
b.