Se os vetores normais aos planos
e
são paralelos, então o cosseno do ângulo entre os planos
e
é igual a 0.
Escolha uma opção:
- Falso
- Verdadeiro
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação: “Se os vetores normais aos planos
e
são paralelos, então o cosseno do ângulo entre os planos
e
é igual a
.”
Precisa-se decidir se essa afirmação é “Verdadeiro” ou “Falso”.
Informações relevantes dadas:
Precisa-se decidir se essa afirmação é “Verdadeiro” ou “Falso”.
Informações relevantes dadas:
- Existem dois planos
e . - Os vetores normais desses planos (digamos
e ) são paralelos.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ângulo entre planos” e como ele se relaciona com os vetores normais.
Definição prática usada em geometria analítica: o ângulo entre dois planos
e
é tomado como o ângulo entre seus vetores normais
e
. Em fórmulas, isso se traduz por:
Definição prática usada em geometria analítica: o ângulo
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) de
.
Passo 3
Explicando o produto escalar de modo bem direto: para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre
e
. Assim, se
e
forem paralelos, o ângulo
entre eles é
(se apontam no mesmo sentido) ou
(se apontam em sentidos opostos). Nesses dois casos temos:
- se
: então ; - se
: então .
Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo entre planos:
ou, se tomarmos sempre o ângulo agudo entre planos, usamos o valor absoluto e obtemos
.
Passo 4
Interpretando o resultado:
(ou
para o ângulo agudo) significa que o ângulo entre os planos é
(planos paralelos ou coincidentes). Agora compare isso com a afirmação dada, que dizia que o cosseno do ângulo entre os planos seria igual a
. Para
seria necessário que
, ou seja, que os planos fossem perpendiculares — isso não acontece quando os vetores normais são paralelos.
Passo 5
Um contraexemplo numérico bem simples para fixar: os planos
e
têm ambos vetor normal
(pegou-se este dado das equações dos planos). Os vetores normais são paralelos, o ângulo entre os planos é
e
não
.
Passo 6
Conclusão clara e direta: a afirmação é falsa. Quando os vetores normais são paralelos, o ângulo entre os planos é
(ou
no sentido orientado) e o cosseno vale
(tipicamente
para o ângulo agudo), não
.
Resposta
Falso