Se os vetores normais aos planos π_{1} e π_{2} são paralelos, então o cosseno do ângulo entre os planos π_{1} e π_{2} é igual a 0.
Escolha uma opção:
  • Falso
  • Verdadeiro

Passo 1

O enunciado dá a seguinte afirmação: “Se os vetores normais aos planos \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos, então o cosseno do ângulo entre os planos \pi_{1} e \pi_{2} é igual a 0.”
Precisa-se decidir se essa afirmação é “Verdadeiro” ou “Falso”.
Informações relevantes dadas:
  • Existem dois planos \pi_{1} e \pi_{2}.
  • Os vetores normais desses planos (digamos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2) são paralelos.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “ângulo entre planos” e como ele se relaciona com os vetores normais.
Definição prática usada em geometria analítica: o ângulo \theta entre dois planos \pi_{1} e \pi_{2} é tomado como o ângulo entre seus vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. Em fórmulas, isso se traduz por:
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|},
onde \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 é o produto escalar e \|\mathbf{n}_i\| é a norma (comprimento) de \mathbf{n}_i.

Passo 3

Explicando o produto escalar de modo bem direto: para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Assim, se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 forem paralelos, o ângulo \varphi entre eles é 0 (se apontam no mesmo sentido) ou \pi (se apontam em sentidos opostos). Nesses dois casos temos:
  • se \varphi=0: \cos\varphi=1 então \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|;
  • se \varphi=\pi: \cos\varphi=-1 então \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=-\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|.
Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo entre planos:
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|}=\pm 1,
ou, se tomarmos sempre o ângulo agudo entre planos, usamos o valor absoluto e obtemos \cos\theta=1.

Passo 4

Interpretando o resultado: \cos\theta=\pm 1 (ou \cos\theta=1 para o ângulo agudo) significa que o ângulo entre os planos é 0 (planos paralelos ou coincidentes). Agora compare isso com a afirmação dada, que dizia que o cosseno do ângulo entre os planos seria igual a 0. Para \cos\theta=0 seria necessário que \theta=\dfrac{\pi}{2}, ou seja, que os planos fossem perpendiculares — isso não acontece quando os vetores normais são paralelos.

Passo 5

Um contraexemplo numérico bem simples para fixar: os planos \pi_1:\;z=0 e \pi_2:\;z=1 têm ambos vetor normal \mathbf{n}=(0,0,1) (pegou-se este dado das equações dos planos). Os vetores normais são paralelos, o ângulo entre os planos é \theta=0 e
\cos\theta=\cos 0 = 1,
não 0.

Passo 6

Conclusão clara e direta: a afirmação é falsa. Quando os vetores normais são paralelos, o ângulo entre os planos é 0 (ou \pi no sentido orientado) e o cosseno vale \pm 1 (tipicamente 1 para o ângulo agudo), não 0.

Resposta

Falso

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