Sejam:
r_{1}: P=P_{1}+t \overrightarrow{v_{1}}, t \in \mathbb{R} e r_{2}: P=P_{2}+s \overrightarrow{v_{2}}, s \in \mathbb{R} retas,
\pi_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}=0 e \pi_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0 planos e
\overrightarrow{n_{1}} e \overrightarrow{n_{2}}, vetores normais aos planos \pi_{1} e \pi_{2}, respectivamente.
Em relação a posição relativa temos:
Se \overrightarrow{v_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e \overrightarrow{P_{1} P_{2}}, \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} não são coplanares, então as retas são:
Se \overrightarrow{n_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{n_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} então os planos são:
Se \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e P_{1} \notin r_{2}, então as retas são:
Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=0 e P_{1} \in \pi_{1} então a reta está \_\_\_\_ no plano
Se \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e d_{1}=\lambda d_{2}, \lambda \in \mathbb{R} (mesmo \lambda ) então os planos são:
Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=0 então a reta e o plano são:
Se \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e d_{1} \neq \lambda d_{2}, \lambda \in \mathbb{R} (mesmo \lambda ) então os planos são:
Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}} \neq 0 então a reta e o plano são:
Se \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e P_{1} \in r_{2}, então as retas são:
Se \overrightarrow{v_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e \overrightarrow{P_{1} P_{2}}, \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} são coplanares, então as retas são:

Passo 1

O enunciado dá várias condições vetoriais e pede que se classifique a posição relativa entre retas e entre planos (preencher as lacunas). Vou listar as perguntas/condições na ordem em que aparecem e os dados relevantes que cada uma dá:
  • Condição A: \overrightarrow{v_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{v_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\\ \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}} não são coplanares. Pergunta: como são as retas r_1 e r_2?
  • Condição B: \overrightarrow{n_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{n_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R}. Pergunta: como são os planos \pi_1 e \pi_2?
  • Condição C: \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e P_{1}\notin r_{2}. Pergunta: como são as retas?
  • Condição D: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0 e P_{1}\in\pi_{1}. Pergunta: a reta está como em relação ao plano \pi_1?
  • Condição E: \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e d_{1}=\lambda d_{2} (mesmo \lambda). Pergunta: como são os planos?
  • Condição F: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0. Pergunta: como são a reta r_1 e o plano \pi_1 (classe geral)?
  • Condição G: \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e d_{1}\neq\lambda d_{2} (mesmo \lambda). Pergunta: como são os planos?
  • Condição H: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}\neq 0. Pergunta: como são a reta r_1 e o plano \pi_1?
  • Condição I: \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e P_{1}\in r_{2}. Pergunta: como são as retas?
  • Condição J: \overrightarrow{v_{1}}\neq \lambda \overrightarrow{v_{2}},\\ \lambda\in\mathbb{R} e \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\\ \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}} são coplanares. Pergunta: como são as retas?

Passo 2

Vou recordar (com explicação simples) os critérios vetoriais que usamos para classificar retas e planos no espaço, porque a resolução usa esses critérios diretamente:
  • Teste de paralelismo entre vetores: \overrightarrow{a} é paralelo a \overrightarrow{b} se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}. Isso significa que os vetores apontam na mesma direção ou em direções opostas.
  • Três vetores \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} são coplanares se o produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois) é zero:
\overrightarrow{u}\cdot\bigl(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\bigr)=0.
Esse determinante/produto misto mede o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores; se for zero, o volume é zero e os vetores ficam no mesmo plano.
  • Planos: um plano \pi: a x+b y+c z+d=0 tem vetor normal \overrightarrow{n}=(a,b,c). Se \overrightarrow{n_1} e \overrightarrow{n_2} não são proporcionais, os planos não são paralelos e portanto se intersectam numa reta (são “secantes”). Se \overrightarrow{n_1}=\lambda\overrightarrow{n_2} então os planos são paralelos; para serem o mesmo plano é preciso que também d_1=\lambda d_2 (mesmo \lambda), caso contrário são dois planos paralelos distintos.
  • Relação reta–plano: o produto escalar \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n} diz se a direção da reta (vetor diretor \overrightarrow{v}) é ortogonal ao normal do plano. Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0 então \overrightarrow{v} está contido no plano (direção paralela ao plano). A partir daí:
    • Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0 e um ponto da reta pertence ao plano, então a reta inteira está contida no plano.
    • Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0 mas nenhum ponto da reta está no plano, então a reta é paralela ao plano (não há interseção).
    • Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}\neq 0, então a reta corta o plano em exatamente um ponto (é secante ao plano).

Passo 3

Agora aplico os critérios a cada condição do enunciado, explicando passo a passo e respondendo a cada lacuna.
Condição A: \overrightarrow{v_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\\ \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}} não são coplanares.
  • Interpretação: as direções \overrightarrow{v_1} e \overrightarrow{v_2} não são paralelas (não existe \lambda), então as retas não são paralelas. Além disso, o fato de \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\\ \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}} não serem coplanares significa que não existe plano que contenha simultaneamente essas duas direções e o vetor que liga os pontos; geometricamente, as duas retas não pertencem a um mesmo plano.
  • Conclusão: duas retas que não são paralelas e não estão no mesmo plano não se encontram — são retas reversas (skew). Ou seja, as retas são reversas.

Passo 4

Condição B: \overrightarrow{n_{1}} \neq \lambda \overrightarrow{n_{2}}.
  • Interpretação: os vetores normais não são proporcionais, logo os planos não são paralelos.
  • Resultado padrão: dois planos que não são paralelos sempre se intersectam ao longo de uma reta.
  • Conclusão: os planos são secantes (intersectam-se em uma reta).

Passo 5

Condição C: \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}} e P_{1}\notin r_{2}.
  • Interpretação: as direções são paralelas (mesma reta-direção), mas o ponto P_1 não pertence à reta r_2. Isso significa que as retas têm a mesma direção mas não se sobrepõem e não se cruzam — são duas retas paralelas distintas no espaço.
  • Conclusão: as retas são paralelas distintas (paralelas não coincidentes).

Passo 6

Condição D: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0 e P_{1}\in\pi_{1}.
  • Interpretação: o produto escalar zero indica que \overrightarrow{v_1} é ortogonal ao normal \overrightarrow{n_1}. Vetores ortogonais ao normal estão contidos no plano, pois o plano é exatamente o conjunto de vetores ortogonais ao seu normal passando por um ponto do plano.
  • Como além disso P_1 está no plano, a reta que parte de P_1 com direção \overrightarrow{v_1} fica totalmente dentro do plano.
  • Conclusão: a reta está contida no plano \pi_1.

Passo 7

Condição E: \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}} e d_{1}=\lambda d_{2} (mesmo \lambda).
  • Interpretação: as coordenadas (a_1,b_1,c_1,d_1) e (a_2,b_2,c_2,d_2) são proporcionais por \lambda. Isso significa que as equações dos planos são múltiplos uma da outra, ou seja, representam exatamente o mesmo conjunto de pontos no espaço.
  • Conclusão: os planos são coincidentes (o mesmo plano).

Passo 8

Condição F: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0 (caso geral, sem informação sobre P_1).
  • Interpretação: como no Passo 6, a direção da reta é paralela ao plano (direção contida no plano). Mas sem saber se algum ponto da reta está no plano, não é possível afirmar que a reta está contida.
  • Dois subcasos:
    • Se algum ponto da reta (por exemplo P_1) pertencer ao plano então a reta está contida no plano.
    • Se nenhum ponto da reta pertence ao plano então a reta é paralela ao plano e não o encontra.
  • Conclusão geral pedida pelo enunciado: a reta é paralela ao plano (com a observação de que, se um ponto da reta estiver no plano, então ela fica contida).

Passo 9

Condição G: \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}} e d_{1}\neq\lambda d_{2} (mesmo \lambda).
  • Interpretação: os normais são proporcionais (planos paralelos), mas os termos independentes não têm a mesma escala, logo as equações não coincidem.
  • Conclusão: são planos paralelos distintos (paralelos e não coincidentes).

Passo 10

Condição H: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}\neq 0.
  • Interpretação: a direção da reta não é ortogonal ao normal do plano, isto é, a reta não é paralela ao plano.
  • Propriedade geométrica: uma reta que não é paralela a um plano corta esse plano em exatamente um ponto (pois a reta atravessa o plano).
  • Conclusão: a reta e o plano são secantes (a reta intersecta o plano em um ponto).

Passo 11

Condição I: \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}} e P_{1}\in r_{2}.
  • Interpretação: as direções são proporcionais (mesma direção) e um ponto de uma reta pertence à outra reta. Isso implica que as duas retas coincidem totalmente (são a mesma reta).
  • Conclusão: as retas são coincidentes (a mesma reta).

Passo 12

Condição J: \overrightarrow{v_{1}}\neq \lambda \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\\ \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}} são coplanares.
  • Interpretação: as direções não são proporcionais (portanto as retas não são paralelas), e além disso os vetores que definem as posições e direções estão todos no mesmo plano. Então existe um plano que contém ambas as retas.
  • Consequência geométrica: em um mesmo plano duas retas não paralelas se encontram em um ponto.
  • Conclusão: as retas são secantes (intersectam-se em um ponto).

Resposta

reversas
secantes
paralelas distintas
contida no plano
coincidentes
paralela ao plano (ou contida, se P_{1}\in\pi_{1})
paralelos distintos
secante ao plano
coincidentes
secantes

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