Sejam S e T operadores lineares de \mathbb{R}^{2} definidos por S(x, y)=(x-2 y, y) e T(x, y)= (2 x,-y). Determinar
S-T;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o operador linear S-T em \mathbb{R}^2, onde são dadas as ações de S e T sobre um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2:
  • S(x,y) = (x-2y,\; y).
  • T(x,y) = (2x,\; -y).
As perguntas que devemos responder:
  • Qual é a expressão de (S-T)(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2?
Informações relevantes fornecidas:
  • As fórmulas explícitas de S e T aplicadas a (x,y).
  • As coordenadas x e y são variáveis reais representando as componentes do vetor em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrando a definição: para operadores lineares S e T definidos no mesmo espaço vetorial, a diferença S-T é o operador que envia cada vetor v em
(S-T)(v)=S(v)-T(v).
Isto significa que subtrai-se componente a componente os vetores S(v) e T(v). Aqui v=(x,y), então procederemos componente a componente usando as expressões dadas.

Passo 3

Calcular a primeira componente de (S-T)(x,y).
As primeiras componentes de S(x,y) e T(x,y) são, respectivamente,
\text{primeira componente de }S(x,y)=x-2y, \qquad \text{primeira componente de }T(x,y)=2x.
Subtraindo:
\text{primeira componente de }(S-T)(x,y) = (x-2y)-2x.
Agora simplificamos a expressão:
(x-2y)-2x = x-2x-2y = -x-2y.

Passo 4

Calcular a segunda componente de (S-T)(x,y).
As segundas componentes são
\text{segunda componente de }S(x,y)=y, \qquad \text{segunda componente de }T(x,y)=-y.
Subtraindo:
\text{segunda componente de }(S-T)(x,y) = y-(-y).
Simplificando:
y-(-y)=y+y=2y.

Passo 5

Juntando as duas componentes obtidas, obtemos a ação completa do operador S-T sobre (x,y):
(S-T)(x,y)=(-x-2y,\; 2y).

Passo 6

Como verificação alternativa (útil na prova): representar S e T por matrizes na base canônica e subtrair as matrizes.
  • Matriz de S:
[S]=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois [S]\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2y\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • Matriz de T:
[T]=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
pois [T]\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\[4pt]-y\end{pmatrix}.
Subtraindo as matrizes:
[S]-[T]=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Aplicando essa matriz a \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x-2y\\[4pt]2y\end{pmatrix},
que coincide com o resultado obtido anteriormente.]

Resposta

(S-T)(x,y)=(-x-2y,\;2y)

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