Sejam
e
operadores lineares de
definidos por
e
. Determinar
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar o operador linear
em
, onde são dadas as ações de
e
sobre um vetor genérico
:
-
. -
.
As perguntas que devemos responder:
- Qual é a expressão de
para um vetor arbitrário ?
Informações relevantes fornecidas:
- As fórmulas explícitas de
e aplicadas a . - As coordenadas
e são variáveis reais representando as componentes do vetor em .
Passo 2
Lembrando a definição: para operadores lineares
e
definidos no mesmo espaço vetorial, a diferença
é o operador que envia cada vetor
em
Isto significa que subtrai-se componente a componente os vetores
e
. Aqui
, então procederemos componente a componente usando as expressões dadas.
Passo 3
Calcular a primeira componente de
.
As primeiras componentes de e
são, respectivamente,
As primeiras componentes de
Subtraindo:
Agora simplificamos a expressão:
Passo 4
Calcular a segunda componente de
.
As segundas componentes são
As segundas componentes são
Subtraindo:
Simplificando:
Passo 5
Juntando as duas componentes obtidas, obtemos a ação completa do operador
sobre
:
Passo 6
Como verificação alternativa (útil na prova): representar
e
por matrizes na base canônica e subtrair as matrizes.
- Matriz de
:
pois
.
- Matriz de
:
pois
.
Subtraindo as matrizes:
Subtraindo as matrizes:
Aplicando essa matriz a
dá
que coincide com o resultado obtido anteriormente.]