O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(-3,1,2), \lambda \in \mathbb{R} e a reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(2,4,-3), \gamma \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
a. 66,61^{\circ}
b. 35,96^{\circ}
c. 87,56^{\circ}
d. 62,06^{\circ}
e. 72,65^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas r\colon X=(1,2,3)+\lambda(-3,1,2) e s\colon X=(2,-1,4)+\gamma(2,4,-3). O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço e vamos usar produto escalar de vetores para obter o cosseno do ângulo entre as direções das retas.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas:
v = (-3,1,2),
w = (2,4,-3).

Passo 3

Calculamos o produto escalar v\cdot w:
v\cdot w = (-3)\cdot2 + 1\cdot4 + 2\cdot(-3) = -6 + 4 -6 = -8.

Passo 4

Calculamos as normas de v e w:
\|v\| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}\approx3,7417,
\|w\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{29}\approx5,3852.

Passo 5

Para obtermos o ângulo agudo entre as retas, usamos
\cos\theta = \frac{|v\cdot w|}{\|v\|\;\|w\|} = \frac{8}{\sqrt{14}\,\sqrt{29}} = \frac{8}{\sqrt{406}} \approx0,3972.
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\theta = \operatorname{arccos}(0,3972)\approx66,61^\circ.

Resposta

a. 66,61^\circ

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