O plano \pi perpendicular aos planos \pi_{1}: 2 x+6 y+3 z-1=0 e \pi_{2}: 3 x-2 y+2 z-3=0 é:
Escolha uma opção:
a. \pi: 18 x-18 z-2=0
b. \pi: 9 x+24 y-6 z-2=0
c. \pi: 16 x+10 y+4 z-2=0
d. \pi: 18 x+5 y-22 z-2=0
e. \pi: 16 x+22 y-4 z-2=0

Passo 1

O enunciado pede um plano \pi que seja perpendicular aos planos
\pi_{1}: 2x+6y+3z-1=0 \quad\text{e}\quad \pi_{2}: 3x-2y+2z-3=0.
Para que \pi seja perpendicular a cada um deles, seu vetor normal deve ser ortogonal aos vetores normais de \pi_{1} e \pi_{2}, ou seja, paralelo ao produto vetorial dos dois.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
\mathbf{n}_{1} = (2,6,3), \quad \mathbf{n}_{2} = (3,-2,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial para obter \mathbf{n}:
\mathbf{n} = \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 6 & 3 \\\\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = (6\cdot2 - 3\cdot(-2),\;-(2\cdot2 - 3\cdot3),\;2\cdot(-2)-6\cdot3) = (18,\;5,\;-22).

Passo 4

Logo, a forma geral do plano \pi é
18x + 5y - 22z + D = 0.
Nas alternativas dadas, apenas a letra (d) apresenta esses coeficientes com o termo constante igual a -2.

Resposta

d. \pi: 18x+5y-22z-2=0

Exercícios relacionados