Determine a posição relativa entre as retas: r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1+2 k \\\ y & =2+k \\\ z & =3-3 k\end{array}, k \in \mathbb{R}\right. e s: X=(3,1,6)+\lambda(-4,-2,6), \lambda \in \mathbb{R}.

Escolha uma opção:

a. Somente Concorrentes
b. Paralelas Distintas
c. Perpendiculares
d. Coincidentes
e. Reversas

Passo 1

O enunciado dá duas retas r e s em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica e pede a posição relativa entre elas (concorrentes, paralelas, reversas etc). Para resolver, vamos comparar os vetores diretores e, em caso de paralelismo, testar se elas coincidem ou não.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta. Da reta
r:\;x=1+2k,\;y=2+k,\;z=3-3k
temos
\vec v_r=(2,1,-3).
Da reta
s:\;X=(3,1,6)+\lambda(-4,-2,6)
temos
\vec v_s=(-4,-2,6).

Passo 3

Verificamos se um vetor é múltiplo escalar do outro. Note que
\vec v_s = -2\,(2,1,-3) = -2\,\vec v_r
Logo, os vetores diretores são colineares e as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas, checamos se um ponto de r pertence a s. Escolhemos k=0 em r, obtendo o ponto
A=(1,2,3).
Queremos ver se existe \lambda tal que
(3-4\lambda,\;1-2\lambda,\;6+6\lambda)=(1,2,3)

Passo 5

Das componentes temos o sistema
3-4\lambda=1 e 1-2\lambda=2.
A primeira dá \lambda=\tfrac12 e a segunda dá \lambda=-\tfrac12, o que é contraditório. Portanto A não pertence a s e as retas não se interceptam.

Resposta

b. Paralelas Distintas

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