Dado o ponto A(3,4,-2) e a reta r:cx=1+t y=2-t z=4+2 t.
a) Determine o ponto A’ projeção de A em r.
b) Determine a distância do ponto A a r.

Passo 1

Resumindo, temos o ponto A(3,4,-2) e a reta r dada por
x=1+t, y=2-t, z=4+2t,
e queremos achar a projeção ortogonal de A em r e a distância de A a r. Vamos usar conceitos de vetor diretor da reta e propriedade de perpendicularidade.

Passo 2

A reta r tem vetor diretor vec v=(1,-1,2). Um ponto genérico em r é
P(t)=(1+t,;2-t,;4+2t)
O vetor AP(t)=P(t)-A é
AP(t)=(t-2,;-t-2,;6+2t)

Passo 3

Para que a projeção seja ortogonal, AP(t) deve ser perpendicular a vec v, ou seja
AP(t)cdotvec v=0
Fazendo o produto escalar,
(t-2)cdot1+(-t-2)cdot(-1)+(6+2t)cdot2=6t+12=0
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t=-2

Passo 4

Substituindo t=-2 em P(t), obtemos
A'=P(-2)=(-1,4,0)

Passo 5

A distância de A a r é o módulo de AA':
|AA'|;=;raiz(3-(-1))^2+(4-4)^2+(-2-0)^2 ;=;raiz20 ;=;2raiz5

Resposta

A'=(-1,4,0)
d(A,r)=2raiz5

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