Qual o ângulo theta que deve existir entre as duas forças de 800 lb , de modo que a resultante R dessas forças possua um módulo de 2000 lb? Para essa condição, determine o ângulo beta entre R e a vertical.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas forças de 800 lb cada, com um ângulo θ entre elas, e que a resultante R dessas duas tenha 2000 lb de módulo. Depois ainda pede o ângulo β entre essa R e a vertical.
Matéria envolvida: adição de vetores pela lei dos cossenos e noção de máxima resultante. Vamos precisar
  1. Desenhar o “triângulo de forças” e usar a lei dos cossenos para achar θ.
  2. Verificar se esse θ é real (cosθ deve ficar entre –1 e 1).
  3. Se desse certo, calcular β com trig (soma de componentes), mas primeiro veremos se existe solução.

Passo 2

Começando pela lei dos cossenos num triângulo formado pelos vetores F₁, F₂ e a resultante R:
R^2 ;=; F1^2 + F2^2 + 2,F1,F2,costheta
Como (2000)^2 ;=; 800^2 + 800^2 + 2 cdot 800 cdot 800 ,costheta lb e queremos lb, fica

Passo 3

Vamos isolar 2000^2 = 1280000 + 2cdot 800^2costheta Longrightarrow 4,000,000 = 1,280,000 + 1,280,000,costheta :
  1. Calcular 4,000,000 - 1,280,000 = 1,280,000,costheta Longrightarrow 2,720,000 = 1,280,000,costheta .
  2. Escrever a equação: costheta = 2,720,0001,280,000 = 2,125
  3. Subtrair 1 280 000:
  4. Logo

Passo 4

Mas, opa, tem de ficar entre –1 e +1. Aqui deu , que é maior que 1. Isso significa que não existe ângulo real θ que satisfaça essa equação.
Na prática isso bate com a ideia de que, quando duas forças iguais se somam, a resultante máxima ocorre quando elas estão alinhadas (θ=0) e vale lb. Nunca chega a 2000 lb.

Resposta

Não existe valor real de θ que faça a resultante chegar a 2000 lb. Consequentemente, não há ângulo β com a vertical para essa condição (porque a condição é impossível).

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