O ângulo theta entre dois vetores no plano u=(u1, u2) e v=(v1, v2) pode ser calculado por meio da fórmula
cos (theta)=u1 v1+u2 v2|u||v|
Seja gamma:[a, b] R^2, gamma(t)=(x(t), y(t)), uma curva tal que x^prime(t)>0 e y^prime(t)>0 para todo t. Mostre (por meio de argumentação algébrica) que, se o ângulo entre gamma^prime e um vetor w é constante, então a imagem de gamma está contida numa reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o ângulo entre vetores no plano e como isso pode nos ajudar a entender o formato de uma curva. A gente vai precisar usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. O que queremos mostrar é que, se o ângulo entre a derivada da curva e um vetor fixo for sempre o mesmo, então essa curva é uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Se temos dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2), o cosseno do ângulo theta entre eles é dado por:
cos(theta) = u1 v1 + u2 v2|u| |v|
Onde |u| e |v| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

No nosso caso, a curva é gamma(t) = (x(t), y(t)) e sua derivada é gamma'(t) = (x'(t), y'(t)). Foi dado que x'(t) > 0 e y'(t) > 0 para todo t, ou seja, as derivadas são sempre positivas.

Passo 4

Vamos considerar um vetor fixo w = (w1, w2). A condição do exercício é que o ângulo entre gamma'(t) e w seja constante para todo t. Então, aplicando a fórmula do cosseno:
cos(theta) = x'(t)w1 + y'(t)w2|gamma'(t)| |w|
Como theta é constante, cos(theta) também é constante.

Passo 5

Isso significa que a razão x'(t)w1 + y'(t)w2|gamma'(t)| é constante. Vamos chamar essa constante de k, então:
x'(t)w1 + y'(t)w2 = k |gamma'(t)|
Como |gamma'(t)| = raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2, a equação fica:
x'(t)w1 + y'(t)w2 = k raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2

Passo 6

Para simplificar, vamos dividir os dois lados por |gamma'(t)|, que é positivo:
x'(t)w1 + y'(t)w2|gamma'(t)| = k
Mas isso já nos leva de volta à condição de que o cosseno do ângulo é constante, reforçando a condição inicial.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação original x'(t)w1 + y'(t)w2 = k |gamma'(t)|. Sabemos que para que isso seja válido para todo t, as proporções entre x'(t) e y'(t) devem ser constantes. Ou seja:
x'(t)w1 = y'(t)w2 = constante
Isso implica que as derivadas de x(t) e y(t) são proporcionais, o que é característico de uma reta.

Passo 8

Integrando as derivadas proporcionais, temos:
x(t) = w1w2 y(t) + C
Onde C é uma constante de integração. Essa é a equação geral de uma reta no plano.

Resposta

Portanto, mostramos que se o ângulo entre gamma'(t) e um vetor fixo w é constante, então a imagem da curva gamma está contida numa reta.

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