O ângulo
entre dois vetores no plano
e
pode ser calculado por meio da fórmula
Seja
, uma curva tal que
e
para todo
. Mostre (por meio de argumentação algébrica) que, se o ângulo entre
e um vetor
é constante, então a imagem de
está contida numa reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o ângulo entre vetores no plano e como isso pode nos ajudar a entender o formato de uma curva. A gente vai precisar usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. O que queremos mostrar é que, se o ângulo entre a derivada da curva e um vetor fixo for sempre o mesmo, então essa curva é uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por:
Onde
e
são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
e sua derivada é
. Foi dado que
e
para todo
, ou seja, as derivadas são sempre positivas.
Passo 4
Vamos considerar um vetor fixo
. A condição do exercício é que o ângulo entre
e
seja constante para todo
. Então, aplicando a fórmula do cosseno:
Como
é constante,
também é constante.
Passo 5
Isso significa que a razão
é constante. Vamos chamar essa constante de
, então:
Como
, a equação fica:
Passo 6
Para simplificar, vamos dividir os dois lados por
, que é positivo:
Mas isso já nos leva de volta à condição de que o cosseno do ângulo é constante, reforçando a condição inicial.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação original
. Sabemos que para que isso seja válido para todo
, as proporções entre
e
devem ser constantes. Ou seja:
Isso implica que as derivadas de
e
são proporcionais, o que é característico de uma reta.
Passo 8
Integrando as derivadas proporcionais, temos:
Onde
é uma constante de integração. Essa é a equação geral de uma reta no plano.
Resposta
Portanto, mostramos que se o ângulo entre
e um vetor fixo
é constante, então a imagem da curva
está contida numa reta.