A Espiral de Arquimedes possui equação
em coordenadas polares:
. Calcule o comprimento da espiral de Arquimedes para
entre 0 e 1 .
Resolução: O comprimento da curva é
Resolva a integral usando substituição trigonométrica
e depois use integração por partes.
Resolução: O comprimento da curva é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o comprimento da Espiral de Arquimedes, que é uma curva definida em coordenadas polares pela equação
para
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares. Não se preocupa se não estiver familiarizado com tudo, vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar a equação polar em coordenadas cartesianas. As relações são:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento em coordenadas paramétricas:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Expandindo os termos:
Observa que os termos
e
se cancelam:
Fatorando
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos usar a substituição trigonométrica
. Com isso:
E substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Integrar
é um pouco trabalhoso, então vamos usar integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Então:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Chamando
de
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Voltando à variável
, lembrando que
, então
.
Substituindo:
Passo 10
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Calculando em
:
Em
:
Então, o comprimento é:
Resposta
O comprimento da Espiral de Arquimedes entre
e
é: