A Espiral de Arquimedes possui equação rho=theta, theta >= 0 em coordenadas polares: lx=rho cos (theta) y=rho sin (theta). Calcule o comprimento da espiral de Arquimedes para theta entre 0 e 1 .
Resolução: O comprimento da curva é
C=integral0^1 raizx^prime(theta)^2+y^prime(theta)^2 d theta= integral0^1 raiz[cos (theta)-theta sin (theta)]^2+[sin (theta)+theta cos (theta)]^2 d theta=integral0^1 raiz1+theta^2 d theta
Resolva a integral usando substituição trigonométrica theta=tan (u) e depois use integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o comprimento da Espiral de Arquimedes, que é uma curva definida em coordenadas polares pela equação rho = theta para theta >= 0. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares. Não se preocupa se não estiver familiarizado com tudo, vou explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar a equação polar em coordenadas cartesianas. As relações são:
x = rho cos(theta) y = rho sin(theta)
Substituindo rho = theta, temos:
x = theta cos(theta) y = theta sin(theta)

Passo 3

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento em coordenadas paramétricas:
C = integrala^b raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta
Aqui, a = 0 e b = 1.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a theta:
dxdtheta = ddtheta (theta cos(theta)) = cos(theta) - theta sin(theta)
dydtheta = ddtheta (theta sin(theta)) = sin(theta) + theta cos(theta)

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
C = integral0^1 raiz[cos(theta) - theta sin(theta)]^2 + [sin(theta) + theta cos(theta)]^2 , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Expandindo os termos:
[cos(theta) - theta sin(theta)]^2 + [sin(theta) + theta cos(theta)]^2 = cos^2(theta) - 2theta sin(theta)cos(theta) + theta^2 sin^2(theta) + sin^2(theta) + 2theta sin(theta)cos(theta) + theta^2 cos^2(theta)
Observa que os termos -2theta sin(theta)cos(theta) e 2theta sin(theta)cos(theta) se cancelam:
= cos^2(theta) + theta^2 sin^2(theta) + sin^2(theta) + theta^2 cos^2(theta)
Fatorando cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1:
= 1 + theta^2 (sin^2(theta) + cos^2(theta)) = 1 + theta^2 (1) = 1 + theta^2
Então, a integral fica:
C = integral0^1 raiz1 + theta^2 , dtheta

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral:
integral raiz1 + theta^2 , dtheta
Vamos usar a substituição trigonométrica theta = tan(u). Com isso:
dtheta = sec^2(u) , du
E substituindo na integral:
integral raiz1 + tan^2(u) cdot sec^2(u) , du
Sabemos que 1 + tan^2(u) = sec^2(u), então:
integral raizsec^2(u) cdot sec^2(u) , du = integral sec(u) cdot sec^2(u) , du = integral sec^3(u) , du

Passo 8

Integrar sec^3(u) é um pouco trabalhoso, então vamos usar integração por partes. Lembrando que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = sec(u) dv = sec^2(u) , du
Então:
du = sec(u) tan(u) , du v = tan(u)
Aplicando integração por partes:
integral sec^3(u) , du = sec(u) tan(u) - integral tan(u) cdot sec(u) tan(u) , du
Simplificando:
= sec(u) tan(u) - integral sec(u) tan^2(u) , du
Sabemos que tan^2(u) = sec^2(u) - 1, então:
= sec(u) tan(u) - integral sec(u) (sec^2(u) - 1) , du = sec(u) tan(u) - integral sec^3(u) , du + integral sec(u) , du
Chamando integral sec^3(u) , du de I:
I = sec(u) tan(u) - I + integral sec(u) , du
Resolvendo para I:
2I = sec(u) tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)| + C I = 12 sec(u) tan(u) + 12 ln|sec(u) + tan(u)| + C

Passo 9

Voltando à variável theta, lembrando que theta = tan(u), então u = arctan(theta).
Substituindo:
I = 12 sec(u) tan(u) + 12 ln|sec(u) + tan(u)| + C = 12 raiz1 + theta^2 cdot theta + 12 ln|theta + raiz1 + theta^2| |0^1

Passo 10

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
C = [ 12 theta raiz1 + theta^2 + 12 ln(theta + raiz1 + theta^2) ]0^1
Calculando em theta = 1:
12 cdot 1 cdot raiz2 + 12 ln(1 + raiz2) = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2)
Em theta = 0:
12 cdot 0 cdot 1 + 12 ln(0 + 1) = 0 + 12 ln(1) = 0
Então, o comprimento é:
C = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2)

Resposta

O comprimento da Espiral de Arquimedes entre theta = 0 e theta = 1 é:
C = raiz22 + 12 ln(1 + raiz2) approx 1.1478

Exercícios relacionados