Parametrize o conjunto obtido pela interseção das superfícies
por uma curva e calcule o seu comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
Isso tudo faz parte da matéria de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para achar a curva de interseção e depois parametrizar essa curva para calcular o seu comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar uma relação entre elas. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos expandir
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Resolvendo para $ z $:
Então, a interseção das duas superfícies ocorre no plano $ z = 2 $.
Passo 5
Agora que sabemos que $ z = 2 $, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $.
Usando a primeira equação:
Passo 6
A equação $ x^{2} + y^{2} = 5 $ representa um círculo no plano $ z = 2 $ com raio $ \sqrt{5} $.
Para parametrizar esse círculo, podemos usar coordenadas polares. Assim, definimos:
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 7
Agora, para calcular o comprimento da curva, que é o comprimento do círculo, usamos a fórmula da circunferência:
onde $ r = \sqrt{5} $.
Passo 8
Substituindo o valor de $ r $:
Resposta
A curva de interseção é parametrizada por:
com $ t $ em $ [0, 2\pi] $, e o comprimento da curva é $ 2\pi \sqrt{5} $.