Parametrize o conjunto obtido pela interseção das superfícies cx^2+y^2+z^2=9 x^2+y^2+(z-4)^2=9 por uma curva e calcule o seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
x^2 + y^2 + z^2 = 9 x^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 9
Isso tudo faz parte da matéria de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para achar a curva de interseção e depois parametrizar essa curva para calcular o seu comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar uma relação entre elas. Subtraindo a segunda equação da primeira:
x^2 + y^2 + z^2 - ( x^2 + y^2 + (z - 4)^2 ) = 9 - 9
Simplificando:
z^2 - (z - 4)^2 = 0

Passo 3

Agora, vamos expandir (z - 4)^2:
(z - 4)^2 = z^2 - 8z + 16
Substituindo de volta na equação:
z^2 - (z^2 - 8z + 16) = 0 z^2 - z^2 + 8z - 16 = 0 8z - 16 = 0

Passo 4

Resolvendo para $ z $:
z
Então, a interseção das duas superfícies ocorre no plano $ z = 2 $.

Passo 5

Agora que sabemos que $ z = 2 $, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre $ x $ e $ y $.
Usando a primeira equação:
z = 2

Passo 6

A equação $ x^{2} + y^{2} = 5 $ representa um círculo no plano $ z = 2 $ com raio $ \sqrt{5} $.
Para parametrizar esse círculo, podemos usar coordenadas polares. Assim, definimos:
x^2 + y^2 = 5
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 7

Agora, para calcular o comprimento da curva, que é o comprimento do círculo, usamos a fórmula da circunferência:
C = 2pi r
onde $ r = \sqrt{5} $.

Passo 8

Substituindo o valor de $ r $:
r

Resposta

A curva de interseção é parametrizada por:
x = raiz5 cos(t) y = raiz5 sin(t) z = 2
com $ t $ em $ [0, 2\pi] $, e o comprimento da curva é $ 2\pi \sqrt{5} $.

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