Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície
suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
,
é a porção da superfície
acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
. Para isso, vamos usar conceitos de fluxos, integrais de superfície e vetores normais. Precisaremos entender como aplicar a fórmula do fluxo e como parametrizar a superfície para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo passa através da superfície. Matemáticamente, é dado por:
Aqui,
é o campo vetorial,
é o vetor normal à superfície (orientado para cima, no nosso caso) e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos identificar a superfície
. Ela é a porção da parábola
que está acima do plano
. Isso significa que
, ou seja,
, o que nos dá
. Então, a região de integração no plano
é um círculo de raio 1.
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal
orientado para cima. Para a superfície
, o vetor normal pode ser encontrado usando:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Sabemos que
, e
. Substituindo
na expressão de
:
O produto escalar fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral do fluxo:
Onde
é o disco
. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde
,
, e
. Substituindo:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazemos uma substituição:
, então
. Os limites mudam para
e
.
Substituindo:
Passo 8
Agora, voltamos à integral em
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.