Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial F através da superfície de suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
F(x, y, z)=x i+y j+2 z k, de é a porção da superfície z=1-x^2-y^2 acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície de. Para isso, vamos usar conceitos de fluxos, integrais de superfície e vetores normais. Precisaremos entender como aplicar a fórmula do fluxo e como parametrizar a superfície para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo passa através da superfície. Matemáticamente, é dado por:
Fluxo = integral duplade
Aqui, F é o campo vetorial, n é o vetor normal à superfície (orientado para cima, no nosso caso) e dS é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos identificar a superfície de. Ela é a porção da parábola z = 1 - x^2 - y^2 que está acima do plano xy. Isso significa que z >= 0, ou seja, 1 - x^2 - y^2 >= 0, o que nos dá x^2 + y^2 <= 1. Então, a região de integração no plano xy é um círculo de raio 1.

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal n orientado para cima. Para a superfície z = f(x, y) = 1 - x^2 - y^2, o vetor normal pode ser encontrado usando:
n = (-fx, -fy, 1)raizfx^2 + fy^2 + 1
Calculando as derivadas parciais:
fx = -2x fy = -2y
Então,
n = (2x, 2y, 1)raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 1 = (2x, 2y, 1)raiz4x^2 + 4y^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n. Sabemos que F = x,i + y,j + 2z,k, e z = 1 - x^2 - y^2. Substituindo z na expressão de F:
F = x,i + y,j + 2(1 - x^2 - y^2),k
O produto escalar fica:
F cdot n = x cdot 2xraiz4x^2 + 4y^2 + 1 + y cdot 2yraiz4x^2 + 4y^2 + 1 + 2(1 - x^2 - y^2) cdot 1raiz4x^2 + 4y^2 + 1
Simplificando:
F cdot n = 2x^2 + 2y^2 + 2 - 2x^2 - 2y^2raiz4x^2 + 4y^2 + 1 = 2raiz4x^2 + 4y^2 + 1

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral do fluxo:
Fluxo = integral duplaD 2raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dS
Onde D é o disco x^2 + y^2 <= 1. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e dS = r,dr,dtheta. Substituindo:
Fluxo = integral0^2pi integral0^1 2raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em r:
integral0^1 2rraiz4r^2 + 1 , dr
Fazemos uma substituição: u = 4r^2 + 1, então du = 8r,dr Rightarrow r,dr = du8. Os limites mudam para u(0) = 1 e u(1) = 5.
Substituindo:
integral1^5 2raizu cdot 18 , du = 14 integral1^5 u^-1/2 , du = 14 [ 2u^1/2 ]1^5 = 12 ( raiz5 - 1 )

Passo 8

Agora, voltamos à integral em theta:
Fluxo = integral0^2pi 12 (raiz5 - 1) , dtheta = 12 (raiz5 - 1) cdot 2pi = pi (raiz5 - 1)

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície de é pi (raiz5 - 1).

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