Questão 03) Sejam v1 =(4,2,-3), v2 =(2,1,-2) e v3 =(-2,-1,0). *
25 pontos
Assinale a única alternativa correta.
a) Os vetores v1, v2 e v3 são LI.
b) Os vetores v1 e v2 são LD.
c) A dimensão do subespaço gerado por v1, v2 e v3 é 2 .
d) Geometricamente, o espaço gerado por v1, v2 e v3 é uma reta.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0) em R^3 e pede para identificar a alternativa correta sobre independência linear e dimensão do subespaço que eles geram. Para isso vamos testar se há dependência entre eles e, em caso afirmativo, encontrar a dimensão do span.

Passo 2

Primeiro verificamos se v1 e v2 são colineares. Suponha que exista lambda tal que
v2 = lambda,v1
Comparando componentes,
4lambda = 2 implies lambda = tfrac12,
mas então
-3lambda = -3cdottfrac12 = -tfrac32 neq -2,
logo não existe lambda que funcione em todas as componentes. Portanto v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 3

Agora vemos se v3 está no span de v1 e v2. Ou seja, procuramos alpha,beta tais que
alpha,v1 + beta,v2 = v3,
o que em componentes dá o sistema
4alpha + 2beta = -2, 2alpha + beta = -1, -3alpha -2beta = 0

Passo 4

Da segunda equação vem
beta = -1 - 2alpha
Substituindo na terceira equação:
-3alpha -2(-1-2alpha)=0 Longrightarrow -3alpha +2 +4alpha=0 Longrightarrow alpha=-2
Então
beta = -1 -2(-2)=3
Como encontramos (alpha,beta)=(-2,3), isto mostra que v3 = -2,v1 + 3,v2, ou seja, v3 é combinação linear de v1 e v2.

Passo 5

Concluímos que v1,v2 é um conjunto independente e que v3 está no span desse conjunto, logo os três vetores geram um subespaço de dimensão 2 em R^3.

Resposta

c) A dimensão do subespaço gerado por v1,v2 e v3 é 2.

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