4- Se os ângulos diretores de um vetor são
e
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá os três ângulos diretores de um vetor e pede para determinar
. Dados fornecidos:
- Primeiro ângulo diretor:
. - Segundo ângulo diretor:
. - Terceiro ângulo diretor:
(desconhecido).
O que se pede: encontrar o valor de
que seja compatível com os dois ângulos dados.
Passo 2
Vamos lembrar a propriedade fundamental dos ângulos diretores (vou explicar devagarinho): se
são os ângulos que um vetor faz com os eixos
, então as cosenas desses ângulos — chamadas de cossenos diretores — satisfazem a relação
Por que isso é verdade? Tome um vetor genérico
com norma (módulo)
. O cosseno do ângulo com o eixo
é a razão entre a componente
do vetor e a norma:
e, analogamente,
Elevando ao quadrado e somando as três expressões obtemos
Mas por definição
, então o quociente vale
. Essa é a razão da fórmula acima. Assim, para os ângulos dados devemos satisfazer
Passo 3
Calculemos os cossenos e seus quadrados dos ângulos conhecidos, um passo de cada vez, com cuidado para não pular etapas.
Primeiro,
Logo
Passo 4
Segundo,
Logo
Passo 5
Substituímos esses valores na relação dos cossenos diretores:
Somando as frações:
Portanto obtemos
Isolando
:
Passo 6
Interpretação do resultado: o quadrado de um número real é sempre não negativo, ou seja, para qualquer
real vale
. Aqui obtivemos
, um número negativo. Isso significa que não existe nenhum ângulo real
que satisfaça as condições dadas — os dois ângulos iniciais já fazem com que a soma dos quadrados dos cossenos ultrapasse
, tornando a situação impossível para um vetor real em
.
Observação extra (opcional): se aceitarmos soluções complexas, teríamos
e
, que são valores complexos; mas normalmente, em geometria vetorial, os ângulos diretores são reais, portanto tal solução complexa não é relevante no contexto usual.
Resposta
Não existe ângulo real
que satisfaça as condições (a soma dos quadrados dos cossenos dos dois ângulos dados já excede
).