4- Se os ângulos diretores de um vetor são \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} e \gamma, determine \gamma.

Passo 1

O enunciado dá os três ângulos diretores de um vetor e pede para determinar \gamma. Dados fornecidos:
  • Primeiro ângulo diretor: \dfrac{\pi}{4}.
  • Segundo ângulo diretor: \dfrac{\pi}{6}.
  • Terceiro ângulo diretor: \gamma (desconhecido).
O que se pede: encontrar o valor de \gamma que seja compatível com os dois ângulos dados.

Passo 2

Vamos lembrar a propriedade fundamental dos ângulos diretores (vou explicar devagarinho): se \alpha,\beta,\gamma são os ângulos que um vetor faz com os eixos x,y,z, então as cosenas desses ângulos — chamadas de cossenos diretores — satisfazem a relação
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
Por que isso é verdade? Tome um vetor genérico \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) com norma (módulo) |\mathbf{v}|. O cosseno do ângulo com o eixo x é a razão entre a componente x do vetor e a norma:
\cos\alpha=\frac{v_x}{|\mathbf{v}|},
e, analogamente,
\cos\beta=\frac{v_y}{|\mathbf{v}|},\qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{|\mathbf{v}|}.
Elevando ao quadrado e somando as três expressões obtemos
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\mathbf{v}|^2}.
Mas por definição |\mathbf{v}|^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2, então o quociente vale 1. Essa é a razão da fórmula acima. Assim, para os ângulos dados devemos satisfazer
\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)+\cos^2\gamma=1.

Passo 3

Calculemos os cossenos e seus quadrados dos ângulos conhecidos, um passo de cada vez, com cuidado para não pular etapas.
Primeiro,
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Segundo,
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}.

Passo 5

Substituímos esses valores na relação dos cossenos diretores:
\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\cos^2\gamma=1.
Somando as frações:
\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.
Portanto obtemos
\frac{5}{4}+\cos^2\gamma=1.
Isolando \cos^2\gamma:
\cos^2\gamma=1-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação do resultado: o quadrado de um número real é sempre não negativo, ou seja, para qualquer \theta real vale \cos^2\theta\ge 0. Aqui obtivemos \cos^2\gamma=-\tfrac{1}{4}, um número negativo. Isso significa que não existe nenhum ângulo real \gamma que satisfaça as condições dadas — os dois ângulos iniciais já fazem com que a soma dos quadrados dos cossenos ultrapasse 1, tornando a situação impossível para um vetor real em \mathbb{R}^3.
Observação extra (opcional): se aceitarmos soluções complexas, teríamos \cos\gamma=\pm \tfrac{i}{2} e \gamma=\operatorname{arccos}\!\big(\pm \tfrac{i}{2}\big), que são valores complexos; mas normalmente, em geometria vetorial, os ângulos diretores são reais, portanto tal solução complexa não é relevante no contexto usual.

Resposta

Não existe ângulo real \gamma que satisfaça as condições (a soma dos quadrados dos cossenos dos dois ângulos dados já excede 1).

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