1- Dados os vetores \vec{V}=(2,-2,4), \vec{U}=(-3,5,1) e \vec{W}=(0,3,7), determine \|\vec{V}-2 \vec{U}+\vec{W}\|.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional e pede o comprimento (norma) de uma combinação linear deles. Dados fornecidos:
  • \vec{V}=(2,-2,4).
  • \vec{U}=(-3,5,1).
  • \vec{W}=(0,3,7).
O que é pedido: calcular \|\vec{V}-2\vec{U}+\vec{W}\|.

Passo 2

Primeiro vou calcular 2\vec{U}. Regra: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente pelo escalar. Se \vec{U}=(u_1,u_2,u_3) então 2\vec{U}=(2u_1,2u_2,2u_3).
Aplicando aos valores:
2\vec{U}=2\cdot(-3,5,1)=(-6,10,2).

Passo 3

Agora calculo \vec{V}-2\vec{U}. Regra: subtrair vetores é operar componente a componente. Se \vec{A}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{B}=(b_1,b_2,b_3) então \vec{A}-\vec{B}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3).
Aplicando:
\vec{V}-2\vec{U}=(2,-2,4)-(-6,10,2).
Fazendo componente a componente:
2-(-6)=2+6=8, \qquad -2-10=-12, \qquad 4-2=2.
Portanto
\vec{V}-2\vec{U}=(8,-12,2).

Passo 4

Agora somo \vec{W} para obter o vetor final \vec{R}=\vec{V}-2\vec{U}+\vec{W}. Regra: soma componente a componente.
\vec{R}=(8,-12,2)+(0,3,7).
Componente a componente:
8+0=8, \qquad -12+3=-9, \qquad 2+7=9.
Logo
\vec{R}=(8,-9,9).

Passo 5

Explicando o que é a norma: para um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) no espaço euclidiano, a norma (comprimento) é dada por
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor ao longo dos três eixos; elevamos ao quadrado cada componente, somamos e tiramos a raiz quadrada.
Vamos aplicar essa fórmula ao vetor \vec{R}=(8,-9,9).

Passo 6

Calculo das componentes ao quadrado e soma:
8^{2}=64,\qquad (-9)^{2}=81,\qquad 9^{2}=81.
Somando:
64+81+81=64+162=226.
Portanto
\|\vec{V}-2\vec{U}+\vec{W}\|=\sqrt{226}.

Resposta

\sqrt{226}

Exercícios relacionados