2- Encontre valores para a e b de modo que sejam paralelos os vetores \vec{V}=(4,1,-3) e \vec{U}=(8, a, b).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores para a e b de modo que os vetores \vec{V}=(4,1,-3) e \vec{U}=(8,a,b) sejam paralelos.
Informações dadas:
  • \vec{V}=(4,1,-3).
  • \vec{U}=(8,a,b).
  • Pedido: determinar a e b de forma que \vec{U} seja paralelo a \vec{V}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existem um escalar k tal que
\vec{U}=k\vec{V}.
Aqui \vec{U} e \vec{V} têm três componentes; a igualdade vetorial significa igualdade componente a componente:
(8,a,b)=k(4,1,-3)=(4k,\,k,\,-3k).
Isso gera um sistema de equações para k,a,b.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as igualdades das componentes:
8=4k, \qquad a=k, \qquad b=-3k.
Explicando: a primeira igualdade vem da componente x, a segunda da componente y e a terceira da componente z. Para encontrar a e b primeiro achamos k usando a primeira equação.

Passo 4

Resolver a primeira equação para k:
8=4k \quad\Rightarrow\quad k=\frac{8}{4}=2.
Aqui dividiu-se ambos os lados por 4. Esse k deve valer também nas outras duas componentes se os vetores forem de fato paralelos.

Passo 5

Usar k=2 para obter a e b:
a=k=2, \qquad b=-3k=-3\cdot 2=-6.
Mostrando os cálculos passo a passo: para a substituiu-se k diretamente; para b multiplicou-se -3 por 2.

Passo 6

Verificação (sempre faça na prova): com a=2 e b=-6 temos
\vec{U}=(8,2,-6)=2(4,1,-3)=2\vec{V},
ou seja, todas as componentes apresentam a mesma razão 2. Logo os vetores são paralelos e os valores encontrados estão corretos. Dica: se a primeira componente não for prática para achar k, pode-se comparar razões a/1 e b/(-3) e verificar se coincidem com 8/4.

Resposta

a=2
b=-6

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