Animal equipado com radar: Um morcego consegue medir a velocidade de sua presa utilizando o mesmo princípio de funcionamento de um radar. Ele emite som através de suas narinas e depois recebe o som refletido por sua presa e determina a velocidade dela. Um morcego que se move com velocidade
emite som com frequência
; ele recebe o som refletido por um inseto que se aproxima dele com frequência
. Encontre uma expressão para a velocidade do inseto em termos de
e da velocidade do som. Considerando agora
, calcule a velocidade do inseto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma expressão que dê a velocidade do inseto em termos de
,
,
e da velocidade do som (vou chamar essa última de
); (2) usar
,
,
para calcular numericamente a velocidade do inseto.
Informações dadas:
Informações dadas:
e precisamos usar a velocidade do som
(valor numérico será adotado depois).
Objetivo final: obter (vou chamar de
) em função de
e depois calcular
numericamente.
Objetivo final: obter
Passo 2
Vamos entender o princípio físico: é o efeito Doppler para ondas sonoras. A forma geral (usada aqui) para o efeito Doppler unindo movimento da fonte e do observador é:
onde
-
é a frequência emitida pela fonte medida no referencial da fonte, -
é a frequência recebida pelo observador, -
é a velocidade do observador relativa ao meio, positiva se ele se move em direção à fonte, -
é a velocidade da fonte relativa ao meio, positiva se ela se move em direção ao observador, -
é a velocidade da onda no meio (velocidade do som).
Essa fórmula combina dois efeitos: aumento da frequência quando o observador se move para a fonte (fator) e aumento quando a fonte se aproxima (denominador ).
Passo 3
Aplicamos a fórmula para a primeira perna (bat -> inseto). A fonte é o morcego que emite
e se move com velocidade
em direção ao inseto; o observador é o inseto, que se move com velocidade
em direção ao morcego. Assim a frequência que chega ao inseto (
) é
Agora o inseto reflete o som. Podemos tratar a reflexão como se o inseto fosse uma fonte que reemite (no seu referencial) a frequência
. Essa fonte (inseto) está se movendo com velocidade
em direção ao morcego; na volta o morcego é o observador e se move com
em direção ao inseto. Aplicando a fórmula novamente (agora com
como frequência da “fonte” refletida), a frequência recebida pelo morcego na reflexão é
Substituindo
obtemos a relação completa:
Passo 4
Agora vamos manipular essa equação para isolar
. Defina
Então
Multiplicando ambos os lados por
e expandindo,
Reunindo termos e organizando em função de
obtemos (mostrar passo a passo):
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
se quisermos, mas esta forma já é uma expressão explícita de
em termos de
,
e
. Substituindo
volta-se para as variáveis do enunciado:
Essa é a expressão pedida (velocidade do inseto em função de
).
Passo 5
Agora o cálculo numérico. Vou adotar o valor padrão aproximado para a velocidade do som no ar a
:
Calcule
Substituindo na fórmula:
numerador:
numerador:
denominador:
Portanto
O sinal positivo indica que o inseto está se aproximando do morcego (como esperado, já que
).