Animal equipado com radar: Um morcego consegue medir a velocidade de sua presa utilizando o mesmo princípio de funcionamento de um radar. Ele emite som através de suas narinas e depois recebe o som refletido por sua presa e determina a velocidade dela. Um morcego que se move com velocidade v_{m} emite som com frequência f_{m}; ele recebe o som refletido por um inseto que se aproxima dele com frequência f_{r}. Encontre uma expressão para a velocidade do inseto em termos de v_{m}, f_{m}, f_{r} e da velocidade do som. Considerando agora v_{m}=4 m / s, f_{m}=80 \mathrm{kHz}, f_{r}=83 \mathrm{kHz}, calcule a velocidade do inseto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma expressão que dê a velocidade do inseto em termos de v_{m}, f_{m}, f_{r} e da velocidade do som (vou chamar essa última de c); (2) usar v_{m}=4\\ \mathrm{m/s}, f_{m}=80\\ \mathrm{kHz}, f_{r}=83\\ \mathrm{kHz} para calcular numericamente a velocidade do inseto.
Informações dadas:
v_{m}=4\\ \mathrm{m/s},\quad f_{m}=80\\ \mathrm{kHz},\quad f_{r}=83\\ \mathrm{kHz},
e precisamos usar a velocidade do som c (valor numérico será adotado depois).
Objetivo final: obter v_{\text{inseto}} (vou chamar de v_{i}) em função de v_{m},f_{m},f_{r},c e depois calcular v_{i} numericamente.

Passo 2

Vamos entender o princípio físico: é o efeito Doppler para ondas sonoras. A forma geral (usada aqui) para o efeito Doppler unindo movimento da fonte e do observador é:
f_{\text{obs}} = f_{\text{src}}\cdot\frac{c+v_{\text{obs}}}{c-v_{\text{src}}},
onde
  • f_{\text{src}} é a frequência emitida pela fonte medida no referencial da fonte,
  • f_{\text{obs}} é a frequência recebida pelo observador,
  • v_{\text{obs}} é a velocidade do observador relativa ao meio, positiva se ele se move em direção à fonte,
  • v_{\text{src}} é a velocidade da fonte relativa ao meio, positiva se ela se move em direção ao observador,
  • c é a velocidade da onda no meio (velocidade do som).
    Essa fórmula combina dois efeitos: aumento da frequência quando o observador se move para a fonte (fator c+v_{\text{obs}}) e aumento quando a fonte se aproxima (denominador c-v_{\text{src}}).

Passo 3

Aplicamos a fórmula para a primeira perna (bat -> inseto). A fonte é o morcego que emite f_{m} e se move com velocidade v_{m} em direção ao inseto; o observador é o inseto, que se move com velocidade v_{i} em direção ao morcego. Assim a frequência que chega ao inseto ( f_{i}) é
f_{i} = f_{m}\cdot\frac{c+v_{i}}{c-v_{m}}.
Agora o inseto reflete o som. Podemos tratar a reflexão como se o inseto fosse uma fonte que reemite (no seu referencial) a frequência f_{i}. Essa fonte (inseto) está se movendo com velocidade v_{i} em direção ao morcego; na volta o morcego é o observador e se move com v_{m} em direção ao inseto. Aplicando a fórmula novamente (agora com f_{i} como frequência da “fonte” refletida), a frequência recebida pelo morcego na reflexão é
f_{r} = f_{i}\cdot\frac{c+v_{m}}{c-v_{i}}.
Substituindo f_{i} obtemos a relação completa:
f_{r} = f_{m}\cdot\frac{c+v_{i}}{c-v_{m}}\cdot\frac{c+v_{m}}{c-v_{i}}.

Passo 4

Agora vamos manipular essa equação para isolar v_{i}. Defina
a=\frac{f_{r}}{f_{m}}.
Então
a = \frac{(c+v_{i})(c+v_{m})}{(c-v_{m})(c-v_{i})}.
Multiplicando ambos os lados por (c-v_{m})(c-v_{i}) e expandindo,
a\big(c^{2}-c v_{i}-c v_{m}+v_{m}v_{i}\big)=c^{2}+c v_{m}+c v_{i}+v_{m}v_{i}.
Reunindo termos e organizando em função de v_{i} obtemos (mostrar passo a passo):
c^{2}(a-1)-c v_{m}(a+1)-c v_{i}(a+1)+v_{m}v_{i}(a-1)=0.
Agrupando os termos que contêm v_{i}:
v_{i}\big(v_{m}(a-1)-c(a+1)\big) + c^{2}(a-1)-c v_{m}(a+1)=0.
Isolando v_{i}:
v_{i} = \frac{c^{2}(a-1)-c v_{m}(a+1)}{c(a+1)-v_{m}(a-1)}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por c se quisermos, mas esta forma já é uma expressão explícita de v_{i} em termos de a,f_{r}/f_{m}, v_{m} e c. Substituindo a=\dfrac{f_{r}}{f_{m}} volta-se para as variáveis do enunciado:
\boxed{\,v_{i}=\frac{c^{2}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}-1\right)-c\,v_{m}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}+1\right)}{c\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}+1\right)-v_{m}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}-1\right)}\,}.
Essa é a expressão pedida (velocidade do inseto em função de v_{m},f_{m},f_{r},c).

Passo 5

Agora o cálculo numérico. Vou adotar o valor padrão aproximado para a velocidade do som no ar a 20^\circ\text{C}:
c=340\\ \mathrm{m/s}.
Calcule a=\dfrac{f_{r}}{f_{m}}=\dfrac{83\,000}{80\,000}=1{,}0375. Substituindo na fórmula:
numerador:
c^{2}(a-1)-c v_{m}(a+1)=340^{2}\cdot 0{,}0375 - 340\cdot 4\cdot 2{,}0375 = 4335 - 2771 = 1564.
denominador:
c(a+1)-v_{m}(a-1)=340\cdot 2{,}0375 - 4\cdot 0{,}0375 = 692{,}75 - 0{,}15 = 692{,}6.
Portanto
v_{i}=\frac{1564}{692{,}6}\approx 2{,}26\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que o inseto está se aproximando do morcego (como esperado, já que f_{r}>f_{m}).

Resposta

v_{i}=\frac{c^{2}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}-1\right)-c\,v_{m}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}+1\right)}{c\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}+1\right)-v_{m}\!\left(\dfrac{f_{r}}{f_{m}}-1\right)}
v_{i}\approx 2{,}26\\ \mathrm{m/s}

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