A partir da expressão geral do efeito Doppler, o que acontece com a freqência observada quando uma fonte se aproxima de um observador com velocidade igual a do som?

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a frequência observada quando uma fonte sonora se aproxima de um observador com velocidade igual à do som. As informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar são:
  • frequência emitida da fonte: \,f\, (conhecida);
  • velocidade do som no meio: \,v\,;
  • velocidade da fonte em direção ao observador: \,v_s\,, e especificamente o caso \,v_s = v\,.
    A pergunta é: qual é a frequência observada \,f'\, nesse caso?

Passo 2

Vamos construir a fórmula do efeito Doppler para uma fonte em movimento rumo a um observador estacionário. Primeiro lembre alguns conceitos simples:
  • período de emissão da fonte: \,T = 1/f\, (tempo entre dois pulsos/crests consecutivos emitidos);
  • comprimento de onda emitido em repouso no meio: \,\lambda = v/f\, (distância entre cristas se a fonte estivesse parada).
    Agora pense no que acontece quando a fonte se move em direção ao observador. Entre duas emissões consecutivas (intervalo de tempo \,T), a fonte avança uma distância \,v_s T\, em direção ao observador. Isso reduz a distância entre duas cristas sucessivas vista no meio.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda efetivo e da frequência observada:
  • comprimento de onda efetivo entre cristas emitidas quando a fonte se move:
\lambda'=\lambda - v_s T
Substituindo \lambda=v/f e T=1/f,
\lambda'=\frac{v}{f}-\frac{v_s}{f}=\frac{v-v_s}{f}.
  • a frequência observada é a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda efetivo:
f'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{(v-v_s)/f}=f\cdot\frac{v}{v-v_s}.
Esta é a expressão geral (para o caso do observador estacionário e fonte se aproximando): \displaystyle f'=f\cdot\frac{v}{v-v_s}.

Passo 4

Agora aplique o caso pedido: \,v_s = v\,. Substituindo na expressão:
  • o comprimento de onda efetivo fica
\lambda'=\frac{v-v_s}{f}=\frac{v-v}{f}=0.
  • portanto a frequência observada, pela fórmula,
f'=f\cdot\frac{v}{v-v_s}=f\cdot\frac{v}{0},
ou seja, a expressão tende a um valor infinito ( \,f'\to\infty\,) — matematicamente há uma singularidade quando v_s\to v pelo lado de aproximação.

Passo 5

Interpretação física e limitações do modelo:
  • o resultado matemático \,f'\to\infty\, significa que, no modelo linear e ideal, as frentes de onda emitidas se empilham no espaço na frente da fonte: o tempo entre chegadas das cristas ao observador tende a zero, gerando uma variação de pressão muito rápida.
  • fisicamente, isso não significa que o ouvido ou o instrumento registre uma frequência infinita; antes, em \,v_s\approx v\, ocorre acúmulo de ondas e formação de uma onda de choque/onda de frente muito intensa — o fenômeno conhecido como estrondo sônico (sonic boom) quando se passa para velocidades maiores que v.
  • além disso, para \,v_s\ge v\, o modelo linear usado na dedução falha: efeitos não-lineares, amortecimento e formação de cone de Mach dominam a resposta real.

Resposta

A frequência observada tende a \infty (a expressão f'=f\frac{v}{v-v_s} torna-se singular em v_s=v); fisicamente ocorre empilhamento das frentes de onda e formação de uma onda de choque (estrondo sônico).

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