A partir da expressão geral do efeito Doppler, o que acontece com a freqência observada quando uma fonte se aproxima de um observador com velocidade igual a do som?
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a frequência observada quando uma fonte sonora se aproxima de um observador com velocidade igual à do som. As informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar são:
- frequência emitida da fonte:
(conhecida); - velocidade do som no meio:
; - velocidade da fonte em direção ao observador:
, e especificamente o caso .
A pergunta é: qual é a frequência observadanesse caso?
Passo 2
Vamos construir a fórmula do efeito Doppler para uma fonte em movimento rumo a um observador estacionário. Primeiro lembre alguns conceitos simples:
- período de emissão da fonte:
(tempo entre dois pulsos/crests consecutivos emitidos); - comprimento de onda emitido em repouso no meio:
(distância entre cristas se a fonte estivesse parada).
Agora pense no que acontece quando a fonte se move em direção ao observador. Entre duas emissões consecutivas (intervalo de tempo), a fonte avança uma distância em direção ao observador. Isso reduz a distância entre duas cristas sucessivas vista no meio.
Passo 3
Cálculo do comprimento de onda efetivo e da frequência observada:
- comprimento de onda efetivo entre cristas emitidas quando a fonte se move:
Substituindo
e
,
- a frequência observada é a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda efetivo:
Esta é a expressão geral (para o caso do observador estacionário e fonte se aproximando):
.
Passo 4
Agora aplique o caso pedido:
. Substituindo na expressão:
- o comprimento de onda efetivo fica
- portanto a frequência observada, pela fórmula,
ou seja, a expressão tende a um valor infinito (
) — matematicamente há uma singularidade quando
pelo lado de aproximação.
Passo 5
Interpretação física e limitações do modelo:
- o resultado matemático
significa que, no modelo linear e ideal, as frentes de onda emitidas se empilham no espaço na frente da fonte: o tempo entre chegadas das cristas ao observador tende a zero, gerando uma variação de pressão muito rápida. - fisicamente, isso não significa que o ouvido ou o instrumento registre uma frequência infinita; antes, em
ocorre acúmulo de ondas e formação de uma onda de choque/onda de frente muito intensa — o fenômeno conhecido como estrondo sônico (sonic boom) quando se passa para velocidades maiores que . - além disso, para
o modelo linear usado na dedução falha: efeitos não-lineares, amortecimento e formação de cone de Mach dominam a resposta real.
Resposta
A frequência observada tende a
(a expressão
torna-se singular em
); fisicamente ocorre empilhamento das frentes de onda e formação de uma onda de choque (estrondo sônico).