Borrifador de jardim: Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 2 cm está ligada a um borrifador com 24 furos de 0,1 \mathrm{~cm} de diâmetro cada. Se a água circula na mangueira com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade a água deixa os furos do borrifador?

Passo 1

O enunciado pede: determinar com que velocidade a água sai dos furos do borrifador. Informações dadas:
  • Diâmetro interno da mangueira: d_{\text{m}} = 2\\ \text{cm}.
  • Velocidade da água dentro da mangueira: v_{\text{m}} = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de furos: N = 24.
  • Diâmetro de cada furo: d_{\text{f}} = 0{,}1\\ \text{cm}.
Esses são todos os dados relevantes. O objetivo é achar a velocidade v_{\text{f}} da água em cada furo.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicado passo a passo): em regime estacionário a água é praticamente incompressível, então a vazão volumétrica que entra na mangueira é igual à soma das vazões volumétricas que saem pelos furos. A vazão volumétrica é a área da seção transversal multiplicada pela velocidade média do fluido nessa seção. Escrevendo isso:
A_{\text{m}}\,v_{\text{m}} = \sum_{i=1}^{N} A_{\text{f}}\,v_{\text{f}} = N\,A_{\text{f}}\,v_{\text{f}},
onde
  • A_{\text{m}} é a área da seção da mangueira,
  • v_{\text{m}} é a velocidade na mangueira (dada ),
  • A_{\text{f}} é a área de um furo,
  • v_{\text{f}} é a velocidade na saída de cada furo (o que queremos).
Vou agora calcular cada área e aplicar essa igualdade.

Passo 3

Primeiro colocamos tudo em unidades consistentes (SI). Convertendo diâmetros para metros:
d_{\text{m}} = 2\\ \text{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m},\qquad d_{\text{f}} = 0{,}1\\ \text{cm} = 0{,}001\\ \mathrm{m}.
Área de uma seção circular é \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}. Logo:
A_{\text{m}} = \frac{\pi d_{\text{m}}^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4} = \pi \cdot 0{,}0001 = 1{,}0\times 10^{-4}\pi\\ \mathrm{m}^{2},
A_{\text{f}} = \frac{\pi d_{\text{f}}^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}001)^{2}}{4} = \pi \cdot 2{,}5\times 10^{-7} = 2{,}5\times 10^{-7}\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Para referência, a área total aberta pelos N furos é
N A_{\text{f}} = 24\cdot 2{,}5\times 10^{-7}\pi = 6{,}0\times 10^{-6}\pi\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Agora usamos a conservação da vazão:
A_{\text{m}}\,v_{\text{m}} = N\,A_{\text{f}}\,v_{\text{f}}.
Isolando v_{\text{f}}:
v_{\text{f}} = \frac{A_{\text{m}}}{N A_{\text{f}}}\,v_{\text{m}}.
Note que o fator \pi aparece tanto em A_{\text{m}} quanto em A_{\text{f}}, então ele se cancela — uma verificação útil para simplificar contas.
Também é possível usar diretamente uma relação com os diâmetros (já que a área é proporcional a d^{2}):
v_{\text{f}} = \frac{d_{\text{m}}^{2}}{N d_{\text{f}}^{2}}\,v_{\text{m}}.

Passo 5

Substituindo números na fórmula (uso da forma com diâmetros porque simplifica a aritmética):
v_{\text{f}} = \frac{(0{,}02)^{2}}{24\,(0{,}001)^{2}}\cdot 2\\ \mathrm{m/s}.
Calcule passo a passo:
(0{,}02)^{2} = 0{,}0004 = 4\times 10^{-4},
(0{,}001)^{2} = 1\times 10^{-6},
\frac{(0{,}02)^{2}}{24\,(0{,}001)^{2}} = \frac{4\times 10^{-4}}{24\times 10^{-6}} = \frac{4\times 10^{-4}}{2{,}4\times 10^{-5}} = \frac{4}{2{,}4}\times 10^{1} = \frac{4}{2{,}4}\cdot 10.
Agora \frac{4}{2{,}4} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3} \approx 1{,}666\ldots, então o fator vale aproximadamente 16{,}666\ldots.
Multiplicando pela velocidade na mangueira:
v_{\text{f}} \approx 16{,}666\ldots \times 2 = 33{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com razoável precisão para duas casas significativas decimais:
v_{\text{f}} \approx 33{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Comentário final e suposições: esse resultado assume fluxo incompressível, regime estacionário e que não há perdas de energia por atrito, nem diferenças de pressão que alterem as velocidades entre furos — ou seja, assumimos que toda a vazão que entra sai uniformemente pelos 24 furos. Na prática real haverá alguma perda e pequenas variações, mas para uma estimativa teórica esse procedimento é o adequado.

Resposta

33{,}3\\ \mathrm{m/s}

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