Aniversários três pessoas são selecionadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que nenhuma compartilhe a data de aniversário. Assuma 365 dias no ano.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que três pessoas escolhidas aleatoriamente tenham aniversários todos em dias distintos (ou seja, nenhuma das três compartilhe a data com outra).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O ano tem
dias (sem considerar ano bissexto). - Há
pessoas selecionadas aleatoriamente. - Quer-se a probabilidade de que todas as três tenham dias de aniversário diferentes.
Passo 2
Modelagem e hipóteses simples (explicando o que vamos usar):
- Assume-se que cada pessoa tem igual probabilidade de nascer em qualquer um dos
dias e que as escolhas são independentes (o fato do aniversário de uma pessoa não altera as chances dos outros, exceto quando condicionamos que não coincidam). - Vou usar a regra da probabilidade para eventos em sequência:
.
Explicando em palavras: calcule a probabilidade do primeiro evento ocorrer, depois a probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro já aconteceu, e assim por diante, multiplicando tudo.
Passo 3
Calcular passo a passo as probabilidades condicionais:
- Para a primeira pessoa não há restrição: qualquer dia serve. Então
- Para a segunda pessoa não coincidir com a primeira, há
dias possíveis favoráveis entre os dias totais. Então
Explicação: um dia já “ocupado” pela primeira pessoa, restam
dias que não provocam coincidência.
- Para a terceira pessoa não coincidir com as duas anteriores, restam
dias favoráveis dentre os . Então
Explicação: dois dias já ocupados, por isso
dias restantes.
Passo 4
Multiplicando as probabilidades condicionais para obter a probabilidade conjunta de todas serem distintas:
Podemos simplificar cancelando um fator
no numerador e denominador:
Também é comum escrever o numerador como uma permutação: o número de maneiras de escolher 3 dias distintos (ordem importa) é
, e o número total de maneiras (com repetição permitida) é
; a razão dá a mesma probabilidade.
Passo 5
Calculemos o valor numérico aproximado para facilitar a intuição:
Ou, com mais casas decimais,
Interpretação rápida: é muito provável que, entre 3 pessoas, nenhuma compartilhe a mesma data — pouco menos de
.
Passo 6
Observação final e generalização rápida: para
pessoas a fórmula generaliza-se para
válida enquanto
. Se
, por princípio da casa e dos pombos, a probabilidade de todas distintas é
.