Aniversários três pessoas são selecionadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que nenhuma compartilhe a data de aniversário. Assuma 365 dias no ano.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que três pessoas escolhidas aleatoriamente tenham aniversários todos em dias distintos (ou seja, nenhuma das três compartilhe a data com outra).
Informações fornecidas:
  • O ano tem 365 dias (sem considerar ano bissexto).
  • 3 pessoas selecionadas aleatoriamente.
  • Quer-se a probabilidade de que todas as três tenham dias de aniversário diferentes.

Passo 2

Modelagem e hipóteses simples (explicando o que vamos usar):
  • Assume-se que cada pessoa tem igual probabilidade de nascer em qualquer um dos 365 dias e que as escolhas são independentes (o fato do aniversário de uma pessoa não altera as chances dos outros, exceto quando condicionamos que não coincidam).
  • Vou usar a regra da probabilidade para eventos em sequência: \Pr(A\\ \text{e}\\ B\\ \text{e}\\ C)=\Pr(A)\cdot\Pr(B\mid A)\cdot\Pr(C\mid A,B).
    Explicando em palavras: calcule a probabilidade do primeiro evento ocorrer, depois a probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro já aconteceu, e assim por diante, multiplicando tudo.

Passo 3

Calcular passo a passo as probabilidades condicionais:
  • Para a primeira pessoa não há restrição: qualquer dia serve. Então
\Pr(\text{1ª pessoa tem qualquer dia})=\frac{365}{365}=1.ª
  • Para a segunda pessoa não coincidir com a primeira, há 364 dias possíveis favoráveis entre os 365 dias totais. Então
\Pr(\text{2ª diferente da 1ª})=\frac{364}{365}.ªª
Explicação: um dia já “ocupado” pela primeira pessoa, restam 364 dias que não provocam coincidência.
  • Para a terceira pessoa não coincidir com as duas anteriores, restam 363 dias favoráveis dentre os 365. Então
\Pr(\text{3ª diferente das duas anteriores})=\frac{363}{365}.ª
Explicação: dois dias já ocupados, por isso 365-2=363 dias restantes.

Passo 4

Multiplicando as probabilidades condicionais para obter a probabilidade conjunta de todas serem distintas:
\Pr(\text{todas distintas}) =1\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365} =\frac{365\cdot 364\cdot 363}{365^3}.
Podemos simplificar cancelando um fator 365 no numerador e denominador:
\Pr(\text{todas distintas})=\frac{364\cdot 363}{365^2}.
Também é comum escrever o numerador como uma permutação: o número de maneiras de escolher 3 dias distintos (ordem importa) é P(365,3)=365\cdot364\cdot363, e o número total de maneiras (com repetição permitida) é 365^3; a razão dá a mesma probabilidade.

Passo 5

Calculemos o valor numérico aproximado para facilitar a intuição:
\frac{364\cdot 363}{365^2}=\frac{132132}{133225}\approx 0,9918.
Ou, com mais casas decimais,
\Pr(\text{todas distintas})\approx 0,9917958.
Interpretação rápida: é muito provável que, entre 3 pessoas, nenhuma compartilhe a mesma data — pouco menos de 99,18\%.

Passo 6

Observação final e generalização rápida: para n pessoas a fórmula generaliza-se para
\Pr(\text{todas distintas para }n)=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365},
válida enquanto n\le 365. Se n>365, por princípio da casa e dos pombos, a probabilidade de todas distintas é 0.

Resposta

\dfrac{365\cdot364\cdot363}{365^3} = \dfrac{364\cdot363}{365^2} \approx 0,9917958

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