Aniversários três pessoas são selecionadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que todas elas compartilhem a mesma data de aniversário
Passo 1
O enunciado: três aniversários (de três pessoas) são escolhidos aleatoriamente. Pede-se a probabilidade de que todas as três pessoas tenham a mesma data de aniversário.
Informações / hipóteses relevantes (que normalmente se assumem neste tipo de problema):
- Cada aniversário pode cair em qualquer um dos
dias do ano, com igual probabilidade. (Ou seja, dias equiprováveis; estamos ignorando ano bissexto.) - As escolhas são independentes: o dia de aniversário de uma pessoa não afeta o das outras.
- O que se pede é a probabilidade de que os três dias sejam idênticos (ex.: 1.º e 2.º e 3.º todos em 12 de março).
Passo 2
Vamos modelar o espaço de resultados possíveis de forma natural: representar os resultados como triplas ordenadas
, onde
é o dia do ano (um número de
a
) do aniversariante
.
-
Quantos resultados possíveis existem no total?
Cadapode ser qualquer um dos dias, logo o total de triplas ordenadas é -
Quantos resultados favoráveis (onde todos têm o mesmo dia)?
Para que os três sejam iguais, basta escolher um dia comum(existem escolhas possíveis) e colocar . Portanto há exatamente triplas favoráveis.
A probabilidade é então (caso clássico: favoráveis dividido por total)
Passo 3
Outro modo — bem didático — usando probabilidade condicional/multiplicativa (regra do produto):
Defina os eventos
-
: dia da pessoa 1 (qualquer coisa) — isto tem probabilidade (não restringe). -
: dia da pessoa 2 coincide com o da pessoa 1. -
: dia da pessoa 3 coincide com o da pessoa 1 e 2.
Pela regra do produto,
Agora:
-
(a primeira pessoa pode ter qualquer dia), - dada a data da pessoa 1, a probabilidade da pessoa 2 ter essa mesma data é
, - dada a data das duas primeiras, a probabilidade da terceira ter essa mesma data é também
.
Logo
Passo 4
Simplificação numérica e interpretação intuitiva:
-
Calcular
: Portanto a probabilidade exata como fração é. -
Aproximação decimal e percentual:que em porcentagem dá aproximadamente
. Ou seja, é um evento extremamente raro.
Passo 5
Exemplo menor para intuir: se o “ano” tivesse só
dias (tipo escolher dias da semana equiprováveis), a probabilidade de três pessoas caírem no mesmo dia seria
(cerca de
). Isso ajuda a ver por que com
dias a probabilidade fica tão pequena.
Passo 6
Observações finais curtas e encorajamento:
- Se quiser levar em conta ano bissexto, trocar
por dá . - Se as hipóteses de equiprobabilidade ou independência não se mantêm (por exemplo, se certas datas são mais comuns), o cálculo precisa ser ajustado usando as probabilidades reais por dia.
- Mandou bem procurando este problema — é um exercício clássico e ótimo para entender contagem, probabilidade clássica e a regra do produto. Força nos estudos, que esse tipo de raciocínio cai bastante em prova!