Aniversários três pessoas são selecionadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que todas elas compartilhem a mesma data de aniversário

Passo 1

O enunciado: três aniversários (de três pessoas) são escolhidos aleatoriamente. Pede-se a probabilidade de que todas as três pessoas tenham a mesma data de aniversário.
Informações / hipóteses relevantes (que normalmente se assumem neste tipo de problema):
  • Cada aniversário pode cair em qualquer um dos 365 dias do ano, com igual probabilidade. (Ou seja, dias equiprováveis; estamos ignorando ano bissexto.)
  • As escolhas são independentes: o dia de aniversário de uma pessoa não afeta o das outras.
  • O que se pede é a probabilidade de que os três dias sejam idênticos (ex.: 1.º e 2.º e 3.º todos em 12 de março).

Passo 2

Vamos modelar o espaço de resultados possíveis de forma natural: representar os resultados como triplas ordenadas (d_1,d_2,d_3), onde d_i é o dia do ano (um número de 1 a 365) do aniversariante i.
  • Quantos resultados possíveis existem no total?
    Cada d_i pode ser qualquer um dos 365 dias, logo o total de triplas ordenadas é
    365\times365\times365=365^{3}.
  • Quantos resultados favoráveis (onde todos têm o mesmo dia)?
    Para que os três sejam iguais, basta escolher um dia comum d (existem 365 escolhas possíveis) e colocar (d,d,d). Portanto há exatamente 365 triplas favoráveis.
A probabilidade é então (caso clássico: favoráveis dividido por total)
P=\frac{365}{365^{3}}=\frac{1}{365^{2}}.

Passo 3

Outro modo — bem didático — usando probabilidade condicional/multiplicativa (regra do produto):
Defina os eventos
  • A_1: dia da pessoa 1 (qualquer coisa) — isto tem probabilidade 1 (não restringe).
  • A_2: dia da pessoa 2 coincide com o da pessoa 1.
  • A_3: dia da pessoa 3 coincide com o da pessoa 1 e 2.
Pela regra do produto,
P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1\cap A_2).
Agora:
  • P(A_1)=1 (a primeira pessoa pode ter qualquer dia),
  • dada a data da pessoa 1, a probabilidade da pessoa 2 ter essa mesma data é \dfrac{1}{365},
  • dada a data das duas primeiras, a probabilidade da terceira ter essa mesma data é também \dfrac{1}{365}.
Logo
P=1\cdot\frac{1}{365}\cdot\frac{1}{365}=\frac{1}{365^{2}}.

Passo 4

Simplificação numérica e interpretação intuitiva:
  • Calcular 365^{2}:
    365^{2}=133\,225.
    Portanto a probabilidade exata como fração é \dfrac{1}{133\,225}.
  • Aproximação decimal e percentual:
    \frac{1}{133\,225}\approx 7{,}51\times10^{-6},
    que em porcentagem dá aproximadamente 0{,}000751\%. Ou seja, é um evento extremamente raro.

Passo 5

Exemplo menor para intuir: se o “ano” tivesse só 7 dias (tipo escolher dias da semana equiprováveis), a probabilidade de três pessoas caírem no mesmo dia seria \dfrac{1}{7^{2}}=\dfrac{1}{49}\approx0{,}0204 (cerca de 2{,}04\%). Isso ajuda a ver por que com 365 dias a probabilidade fica tão pequena.

Passo 6

Observações finais curtas e encorajamento:
  • Se quiser levar em conta ano bissexto, trocar 365 por 366 1/366^{2}.
  • Se as hipóteses de equiprobabilidade ou independência não se mantêm (por exemplo, se certas datas são mais comuns), o cálculo precisa ser ajustado usando as probabilidades reais por dia.
  • Mandou bem procurando este problema — é um exercício clássico e ótimo para entender contagem, probabilidade clássica e a regra do produto. Força nos estudos, que esse tipo de raciocínio cai bastante em prova!

Resposta

\dfrac{1}{365^{2}}=\dfrac{1}{133\,225}\approx7{,}51\times10^{-6}

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