Um centro de distribuição recebe carregamentos de um produto de três fábricas diferentes nas quantidades a seguir: 50,35 e 25 . Um produto é selecionado aleatoriamente três vezes, cada vez sem reposição. Encontre a probabilidade de que os três produtos venham da terceira fábrica.
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de produtos recebidos de três fábricas:
- da primeira fábrica:
unidades; - da segunda fábrica:
unidades; - da terceira fábrica:
unidades.
No total há
unidades no centro de distribuição.
Foi feita uma seleção aleatória de
produtos, sem reposição (ou seja, um produto retirado não volta para a amostra). A pergunta é: qual é a probabilidade de que os três produtos selecionados venham da terceira fábrica (aquela com
unidades)?
Passo 2
Ideia e justificativa do método (explicação didática):
- Quando se escolhe sem reposição, as probabilidades mudam a cada retirada porque o número de itens disponíveis diminui.
- Uma forma direta é usar o raciocínio multiplicativo de probabilidades condicionais: a probabilidade de acontecerem A e B e C é o produto das probabilidades condicionais
. - Outra forma equivalente é usar a contagem combinatória (hipergeométrica): número de formas de escolher
itens da terceira fábrica dividido pelo número de formas de escolher itens de todo o lote, isto é,
Vou mostrar as duas abordagens (são equivalentes) e calcular passo a passo.
Passo 3
Abordagem multiplicativa (passo a passo):
- Probabilidade de o primeiro produto vir da terceira fábrica:
Explicação: há
itens da terceira fábrica em
totais, então chance
.
- Dado que o primeiro veio da terceira fábrica, restam
itens dessa fábrica e o total agora é . Assim, a probabilidade de o segundo também vir da terceira fábrica é
- Dado que os dois primeiros vieram da terceira fábrica, restam
itens dela e o total é . Assim, a probabilidade de o terceiro vir da terceira fábrica é
- Como os eventos são condicionais em cadeia, a probabilidade de os três serem da terceira fábrica é o produto:
Passo 4
Simplificação e cálculo exato (fazendo as contas como se faz na prova):
- Primeiro escrevemos o produto como fração única:
- Podemos também usar combinações: o número de maneiras de escolher
itens dentre os da terceira fábrica é e o número de maneiras de escolher itens dentre os totais é . Então
- Calcule
e :
- Portanto
- Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 5
Cálculo aproximado e interpretação final:
- Convertendo para decimal:
- Em porcentagem isso é cerca de