Um centro de distribuição recebe carregamentos de um produto de três fábricas diferentes nas quantidades a seguir: 50,35 e 25 . Um produto é selecionado aleatoriamente três vezes, cada vez sem reposição. Encontre a probabilidade de que os três produtos venham da terceira fábrica.

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de produtos recebidos de três fábricas:
  • da primeira fábrica: 50 unidades;
  • da segunda fábrica: 35 unidades;
  • da terceira fábrica: 25 unidades.
No total há
50+35+25=110
unidades no centro de distribuição.
Foi feita uma seleção aleatória de 3 produtos, sem reposição (ou seja, um produto retirado não volta para a amostra). A pergunta é: qual é a probabilidade de que os três produtos selecionados venham da terceira fábrica (aquela com 25 unidades)?

Passo 2

Ideia e justificativa do método (explicação didática):
  • Quando se escolhe sem reposição, as probabilidades mudam a cada retirada porque o número de itens disponíveis diminui.
  • Uma forma direta é usar o raciocínio multiplicativo de probabilidades condicionais: a probabilidade de acontecerem A e B e C é o produto das probabilidades condicionais P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B).
  • Outra forma equivalente é usar a contagem combinatória (hipergeométrica): número de formas de escolher 3 itens da terceira fábrica dividido pelo número de formas de escolher 3 itens de todo o lote, isto é,
\frac{\binom{25}{3}}{\binom{110}{3}}.
Vou mostrar as duas abordagens (são equivalentes) e calcular passo a passo.

Passo 3

Abordagem multiplicativa (passo a passo):
  • Probabilidade de o primeiro produto vir da terceira fábrica:
P_1=\frac{25}{110}.
Explicação: há 25 itens da terceira fábrica em 110 totais, então chance 25/110.
  • Dado que o primeiro veio da terceira fábrica, restam 24 itens dessa fábrica e o total agora é 109. Assim, a probabilidade de o segundo também vir da terceira fábrica é
P_2=\frac{24}{109}.
  • Dado que os dois primeiros vieram da terceira fábrica, restam 23 itens dela e o total é 108. Assim, a probabilidade de o terceiro vir da terceira fábrica é
P_3=\frac{23}{108}.
  • Como os eventos são condicionais em cadeia, a probabilidade de os três serem da terceira fábrica é o produto:
P = P_1\cdot P_2\cdot P_3 = \frac{25}{110}\cdot\frac{24}{109}\cdot\frac{23}{108}.

Passo 4

Simplificação e cálculo exato (fazendo as contas como se faz na prova):
  • Primeiro escrevemos o produto como fração única:
P=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{110\cdot 109\cdot 108}.
  • Podemos também usar combinações: o número de maneiras de escolher 3 itens dentre os 25 da terceira fábrica é \binom{25}{3} e o número de maneiras de escolher 3 itens dentre os 110 totais é \binom{110}{3}. Então
P=\frac{\binom{25}{3}}{\binom{110}{3}}.
  • Calcule \binom{25}{3} e \binom{110}{3}:
\binom{25}{3}=\frac{25\cdot24\cdot23}{3\cdot2\cdot1}=\frac{13800}{6}=2300,
\binom{110}{3}=\frac{110\cdot109\cdot108}{3\cdot2\cdot1}=\frac{1294920}{6}=215820.
  • Portanto
P=\frac{2300}{215820}.
  • Simplificando a fração dividindo por 20:
P=\frac{115}{10791}.

Passo 5

Cálculo aproximado e interpretação final:
  • Convertendo para decimal:
P\approx 0{,}010657\quad(\text{aproximadamente}).
  • Em porcentagem isso é cerca de
P\approx 1{,}0657\%.

Resposta

\dfrac{115}{10791} \approx 0{,}010657 (aprox. 1{,}0657\%)

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