Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:15 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:45 horas?

Passo 1

Dados fornecidos e o que a questão pede:
  • Há dois servidores, cada um com tempo de serviço exponencial. As médias dos tempos de serviço são: \,30 minutos para o servidor 1 e \,15 minutos para o servidor 2.
  • Às \,09{:}15 ambos os servidores estão ocupados atendendo clientes.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que nenhum dos dois clientes em atendimento às \,09{:}15 tenha seu serviço concluído antes de \,09{:}45?\n
  • Observação importante (tempo de interesse): o intervalo entre \,09{:}15 e \,09{:}45 tem duração de \,30 minutos.

Passo 2

Entendendo a distribuição exponencial (aula rápida, sem pular etapas)
  • Uma variável aleatória X que representa tempo até a ocorrência de um evento tem distribuição exponencial com parâmetro de taxa \lambda>0 quando sua função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
P(X>t)=e^{-\lambda t}.
  • A média (valor esperado) da exponencial é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui \lambda tem unidades “por minuto” se t está em minutos.
  • Relação entre média e taxa: se a média é \,m minutos então
\lambda=\frac{1}{m}.
  • Propriedade chave (muito útil aqui): a exponencial é “sem memória” (memoryless). Isso significa que, se um serviço está em andamento há algum tempo, a distribuição do tempo restante até o fim é a mesma que a distribuição original. Em fórmula:
P(X>t+s\mid X>s)=P(X>t).
Isso nos permite ignorar há quanto tempo o serviço já está ocorrendo quando queremos o tempo residual a partir de \,09{:}15.

Passo 3

Aplicando os dados à notação
  • Seja S_1 o tempo de serviço (desde o início do atendimento atual) do cliente no servidor 1, e S_2 o tempo de serviço do cliente no servidor 2.
  • Pelos dados: \mathbb{E}[S_1]=30 e \mathbb{E}[S_2]=15. Portanto as taxas são
\lambda_1=\frac{1}{30},\qquad \lambda_2=\frac{1}{15},
com unidades \text{min}^{-1}.
  • Pelo enunciado assumimos que os tempos de serviço entre servidores são independentes (é a hipótese padrão em problemas assim).

Passo 4

Usando a propriedade de memória e escrevendo o evento desejado
  • Queremos que nenhum dos dois clientes termine antes de \,09{:}45. A partir de \,09{:}15 isso equivale a que os tempos residuais em \,09{:}15 sejam maiores que \,30 minutos.
  • Pela propriedade sem memória, os tempos residuais têm as mesmas leis exponenciais originais: S_1 e S_2 a partir de \,09{:}15 continuam com distribuições exponenciais de taxas \lambda_1 e \lambda_2.
  • Assim queremos
P\big(S_1>30\\ \text{e}\\ S_2>30\big).

Passo 5

Cálculo da probabilidade do evento conjunto
  • Como S_1 e S_2 são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais:
P(S_1>30\\ \text{e}\\ S_2>30)=P(S_1>30)\cdot P(S_2>30).
  • Usando a fórmula da exponencial:
P(S_1>30)=e^{-\lambda_1\cdot 30}=e^{-\frac{1}{30}\cdot 30}=e^{-1},
P(S_2>30)=e^{-\lambda_2\cdot 30}=e^{-\frac{1}{15}\cdot 30}=e^{-2}.
  • Multiplicando:
P(S_1>30\\ \text{e}\\ S_2>30)=e^{-1}\cdot e^{-2}=e^{-3}.

Passo 6

Valor numérico e interpretação final
  • O valor exato é \,e^{-3}.
  • Aproximando numericamente:
e^{-3}\approx 0,049787\\ ( \text{aprox. }4{,}9787\%).
  • Interpretação: há cerca de 5\% de chance de que, estando ambos ocupados às \,09{:}15, nenhum dos dois termine antes de \,09{:}45. Isso é pequeno porque um dos servidores tem serviço médio curto ( 15 min), então normalmente ele termina antes de 30 min.

Resposta

e^{-3}\approx 0,049787

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