Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 20 minutos) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos e 15 para cada servidor, respectivamente). Além disso, acabou de chegar um cliente ás 08 horas da manhá. Responda ( 3.0 pontos):
Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:15 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:45 horas?
Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:15 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:45 horas?
Passo 1
Dados fornecidos e o que a questão pede:
- Há dois servidores, cada um com tempo de serviço exponencial. As médias dos tempos de serviço são:
minutos para o servidor 1 e minutos para o servidor 2. - Às
ambos os servidores estão ocupados atendendo clientes. - Pergunta: qual a probabilidade de que nenhum dos dois clientes em atendimento às
tenha seu serviço concluído antes de ?\n - Observação importante (tempo de interesse): o intervalo entre
e tem duração de minutos.
Passo 2
Entendendo a distribuição exponencial (aula rápida, sem pular etapas)
- Uma variável aleatória
que representa tempo até a ocorrência de um evento tem distribuição exponencial com parâmetro de taxa quando sua função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que ) é
- A média (valor esperado) da exponencial é
Aqui
tem unidades “por minuto” se
está em minutos.
- Relação entre média e taxa: se a média é
minutos então
- Propriedade chave (muito útil aqui): a exponencial é “sem memória” (memoryless). Isso significa que, se um serviço está em andamento há algum tempo, a distribuição do tempo restante até o fim é a mesma que a distribuição original. Em fórmula:
Isso nos permite ignorar há quanto tempo o serviço já está ocorrendo quando queremos o tempo residual a partir de
.
Passo 3
Aplicando os dados à notação
- Seja
o tempo de serviço (desde o início do atendimento atual) do cliente no servidor 1, e o tempo de serviço do cliente no servidor 2. - Pelos dados:
e . Portanto as taxas são
com unidades
.
- Pelo enunciado assumimos que os tempos de serviço entre servidores são independentes (é a hipótese padrão em problemas assim).
Passo 4
Usando a propriedade de memória e escrevendo o evento desejado
- Queremos que nenhum dos dois clientes termine antes de
. A partir de isso equivale a que os tempos residuais em sejam maiores que minutos. - Pela propriedade sem memória, os tempos residuais têm as mesmas leis exponenciais originais:
e a partir de continuam com distribuições exponenciais de taxas e . - Assim queremos
Passo 5
Cálculo da probabilidade do evento conjunto
- Como
e são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais:
- Usando a fórmula da exponencial:
- Multiplicando:
Passo 6
Valor numérico e interpretação final
- O valor exato é
. - Aproximando numericamente:
- Interpretação: há cerca de
de chance de que, estando ambos ocupados às , nenhum dos dois termine antes de . Isso é pequeno porque um dos servidores tem serviço médio curto ( min), então normalmente ele termina antes de min.