Para estas matrizes responda as questões a seguir ( \mathbf{2 . 0} pontos).
a) Defina e justifique o tipo de Cadeia Markoviana que corresponde? (Ergódica Regular, Ergódica
b) Caso exista a condição de regime estacionário calcule este a partir da equação de estado de equi (operações com matrizes deverāo ser descritas e realizadas manualmente).
Passo 1
O enunciado apresenta duas matrizes de transição de cadeias de Markov, P e Q, e pede:
(a) definir e justificar o tipo de cadeia (por exemplo: ergódica, regular, absorvente, etc.) para cada matriz;
(b) caso exista regime estacionário, calcular esse regime a partir da equação de equilíbrio (ou seja, resolver \pi=\pi P ou \pi=\pi Q), descrevendo as operações manualmente.
Dados fornecidos (peguei as matrizes do enunciado):
O objetivo é analisar cada matriz separadamente, justificar tipo da cadeia e, se houver, calcular a distribuição estacionária \pi satisfazendo \pi=\pi M com \sum_i \pi_i=1.]
Passo 2
Análise da cadeia com matriz P: verificação da comunicação entre estados e periodicidade.
Vou rotular os estados como 1,2,3. Observando P: \;P_{11}=0,1>0 (auto-retorno em 1), \;P_{13}=0,9>0 (1 vai para 3), \;P_{21}=0,7>0 (2 vai para 1), \;P_{23}=0, \;P_{31}=0,2>0,\;P_{32}=0,7>0,\;P_{33}=0,1>0.
Comunicação:
De 1 dá para 3 (directo) e de 3 dá para 2 (porque P_{32}=0,7), e de 2 dá para 1 (porque P_{21}=0,7). Assim há caminhos positivos entre todos: 1\leftrightarrow2\leftrightarrow3. Concluímos que todos os estados se comunicam: a cadeia é irreducível.
Periodicidade / aperiodicidade:
Como P_{11}=0,1>0, existe um auto-laço no estado 1; isso implica que o período de 1 é 1. Em uma cadeia irreducível, todos os estados têm o mesmo período, então todos têm período 1. Portanto a cadeia é aperiodica.
Conclusão sobre o tipo: cadeia finita, irreducível e aperiodica ⇒ cadeia ergódica. Em terminologia de muitas aulas, também é “regular” (existe um n tal que P^n tem todas as entradas positivas). Logo: P gera uma cadeia ergódica regular.
Passo 3
Agora calculo a distribuição estacionária [\pi) para P, resolvendo \pi=\pi P com \sum \pi_i=1. Escrevo \pi=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)=(x,y,z).
Equações de equilíbrio (produto linha por coluna, feito manualmente):
y = 0,3y + 0,7z \quad\Rightarrow\quad 0,7y = 0,7z \quad\Rightarrow\quad y = z. \tag{2}
Da terceira:
z = 0,9x + 0,1z \quad\Rightarrow\quad 0,9z = 0,9x \quad\Rightarrow\quad z = x. \tag{3}
Das equações (2)\] e \((3) temos x=y=z. Como somam 1, segue
x=y=z=\tfrac{1}{3}.
Verificação rápida (substituir em (1)): 0,9\cdot\tfrac{1}{3}=0,3 e 0,7\cdot\tfrac{1}{3}+0,2\cdot\tfrac{1}{3}=(0,7+0,2)\cdot\tfrac{1}{3}=0,9\cdot\tfrac{1}{3}=0,3. Confere.
Portanto a distribuição estacionária é \pi^{(P)}=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).]
Passo 4
Interpretação e comentário didático sobre P:
Como a cadeia é irreducível e aperiodica (ergódica regular), ela tem única distribuição estacionária \pi^{(P)} com todas as coordenadas positivas; ao longo do tempo (potências de P) as linhas de P^n convergem para \pi^{(P)}. Na prova, para verificar ergodicidade, chequei comunicação entre estados e existência de auto-transição (ou outro argumento de período 1). Para calcular \pi, montei \pi=\pi P e usei as equações lineares resultantes, normalmente uma equação é redundante, então uso a soma das componentes para fechar o sistema.
Passo 5
Análise da cadeia com matriz Q: comunicação, classes e periodicidade.
Observando Q: segunda linha é (0,1,0), isto é, Q_{22}=1. Isso significa que o estado 2 é absorvente (uma vez que a cadeia entra em 2 ela fica lá).
Verifico conectividade entre 1 e 3: Q_{13}=0,4>0 e Q_{31}=0,6>0, então 1\leftrightarrow3 (comunicam). Contudo 1 e 3 têm transições positivas para 2 (Q_{12}=0,6 e Q_{32}=0,4), e 2 não sai. Portanto \{2\} é uma classe comunicante fechada (absorvente) e \{1,3\} é uma classe transitória que comunica com a fechada \{2\}.
A cadeia é então redutível (não é irreducível), pois há pelo menos duas classes comunicantes: a fechada \{2\} e a classe transitória \{1,3\}.
Sobre periodicidade: o estado 2 tem período 1 (pois Q_{22}=1), mas isto não torna a cadeia inteira ergódica porque é redutível. Em geral, ergodicidade requer irreducibilidade (e aqui não ocorre).
Conclusão sobre o tipo: cadeia redutível com um estado absorvente (2). Não é ergódica nem regular.
Passo 6
Cálculo da distribuição estacionária [\pi) para Q, resolvendo \pi=\pi Q com \sum \pi_i=1. Escrevo \pi=(a,b,c).
Escrevo as equações explicitamente (produto linha por coluna):
Verificação na segunda equação: com a=0,c=0 a igualdade 0 = 0,6a + 0,4c fica 0=0, ok.
Portanto a distribuição estacionária é \pi^{(Q)}=(0,1,0), isto é, toda a massa concentrada no estado absorvente 2.]
Passo 7
Interpretação e comentário didático sobre Q:
Como há um estado absorvente e os demais estados são transitórios que com probabilidade 1 eventualmente levam ao absorvente (cadeia finita com uma classe fechada garante absorção certa a partir de qualquer estado transitório), as distribuições limite das linhas de Q^n para n\to\infty convergem para a distribuição concentrada em 2. Em notação: independentemente do estado inicial (exceto já estar em 2), ao longo do tempo a cadeia acabará em 2 com probabilidade 1, e a distribuição estacionária que satisfaz \pi=\pi Q e é estacionária de equilíbrio é (0,1,0).
Em prova: para achar estacionária em cadeias redutíveis, monte \pi=\pi Q e observe que as coordenadas correspondentes a estados de classes fechadas podem ter massa; estados transitórios obrigatoriamente terão massa 0 em qualquer distribuição estacionária que seja limite estável.
Resposta
Para P: Cadeia irreducível e aperiódica (ergódica regular). Distribuição estacionária \pi^{(P)}=\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
Para Q: Cadeia redutível com estado 2 absorvente (classe fechada \{2\}) e estados 1,3 transitórios; não é ergódica nem regular. Distribuição estacionária \pi^{(Q)}=(0,1,0).