Entre os anos de 1985 e 1998, o número de transações em caixas eletrônicos nos Estados Unidos (em milhões) variou a taxa dada pela função d Td t=365,8 cdot e^0,03 cdot t, onde t=5, corresponde a 1985. Em 1997, houve 10.980 milhões de transações (Fonte: Bank Network News).
Determine o número de transações em caixas eletrônicos em 1995?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação do número de transações em função do tempo: dTdt=365,8,e^0,03t. Sabemos que t=5 corresponde a 1985, logo para o ano Y temos t=Y-1980. Precisaremos integrar essa derivada para obter T(t) e depois determinar a constante de integração usando o dado de 1997 (10 980 milhões de transações).

Passo 2

Integramos a taxa dTdt=365,8,e^0,03t. Pela regra integral e^at,dt=1ae^at+C, obtemos:
T(t)=integral365,8,e^0,03t,dt=365,80,03,e^0,03t+C

Passo 3

Para achar a constante C, usamos o ponto de 1997. Nesse ano, t=1997-1980=17 e T(17)=10980. Substituindo na expressão de T(t):
10980=365,80,03e^0,03cdot17+C

Passo 4

Calculamos 365,80,03=12193,333 e e^0,51approx1,6653. Logo
10980=12193,333times1,6653+Capprox20305+C
Assim Capprox10980-20305=-9325.

Passo 5

Agora calculamos T(t) para 1995, que corresponde a t=1995-1980=15:
T(15)=365,80,03e^0,03cdot15+C=12193,333,e^0,45-9325
Com e^0,45approx1,571, vem
T(15)approx12193,333times1,571-9325approx19156,5-9325=9831,5 milhões de transações.

Passo 6

Portanto, o número de transações em caixas eletrônicos nos EUA em 1995 foi aproximadamente 9832 milhões.

Resposta

≈9832 milhões de transações

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