Uma amostra de proteína de massa m se decompõe em aminoácidos a uma taxa dada pela função dm / dt=-15 cdot t / t^2+5 g / h. Onde m é a massa em gramas e t o tempo em horas. Qual é a variação da massa da mostra durante as primeiras 4 horas?

Passo 1

O enunciado diz que a massa m(t) de uma amostra de proteína se decompõe segundo a taxa de variação dmdt=-15,tt^2+5 em gramas por hora. O conteúdo aqui é cálculo de integrais: precisamos integrar essa taxa de 0 a 4 horas para achar a variação total de massa.

Passo 2

Montamos a integral definida da taxa de variação para obter a mudança de massa entre t=0 e t=4:
De

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a substituição u=t^2+5, de modo que du=2t,dt e t,dt=12,du. Então:
integral -15,tt^2+5,dt=-15integraltu,dt=-15integral1ucdot12,du=-152integral1u,du=-152ln|u|+C

Passo 4

Voltando a t, o antiderivado é -tfrac152ln(t^2+5). Agora avaliamos de 0 a 4:
De

Resposta

-tfrac152ln(tfrac215) g (aproximadamente -10,76 g)

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