Devido à falta de oxigênio, a população de trutas de um lago está diminuindo. A taxa de variação da população pode ser modelada pela função dPdt=-125 cdot e^-t / 20, onde t é o tempo. No instante t=0, existem 2500 trutas no lago.
De acordo com esse modelo, quanto tempo será necessário para que não haja mais trutas no lago?

Passo 1

Resumo do enunciado: a população de trutas satisfaz a equação diferencial dPdt = -125,e^-t/20 e temos a condição inicial P(0)=2500. Vamos integrar essa taxa de variação para obter P(t) e então buscar o tempo em que P(t)=0.

Passo 2

Integrar a equação diferencial. Escrevendo
P(t) = integral dP = integral -125,e^-t/20,dt
Como integral e^-t/20,dt = -20,e^-t/20, temos
P(t) = -125 cdot (-20,e^-t/20) + C = 2500,e^-t/20 + C

Passo 3

Determinar a constante de integração com P(0)=2500. Substituindo t=0:
2500 = 2500,e^0 + C implies 2500 = 2500 + C implies C=0

Passo 4

Assim
P(t) = 2500,e^-t/20

Passo 5

Procurar o tempo que zera a população:
2500,e^-t/20 = 0
Como e^-t/20>0 para todo t finito, essa equação não tem solução em tempo finito.
Portanto, de acordo com o modelo, a população só se anula quando o tempo tende ao infinito.

Resposta

O modelo indica que a população de trutas só chega a zero quando t to infty; não existe tempo finito para que não haja mais trutas no lago.

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